$f(0+0) = f(0) + f(0)$ $f(0) = 2f(0)$ したがって、$f(0) = 0$

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1. 問題の内容

問題10は、実数上で定義された連続関数 $f(x)$ が、以下の2つの条件を満たすとき、$f(x) = x$ であることを証明せよという問題です。

(a) 全ての実数 $x, y$ に対して、$f(x+y) = f(x) + f(y)$ が成り立つ。

(b) $f(1) = 1$ が成り立つ。

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2. 解き方の手順

1. **$f(0)$ の値を求める:** 条件(a)で $x = y = 0$ とすると、

$f(0+0) = f(0) + f(0)$

$f(0) = 2f(0)$

したがって、$f(0) = 0$

2. **$f(n)$ (nは自然数) の値を求める:** 数学的帰納法を用いる。

$n = 1$ のとき、$f(1) = 1$ (条件(b)より)

$n = k$ のとき、$f(k) = k$ が成り立つと仮定する。

$n = k+1$ のとき、条件(a)より、

$f(k+1) = f(k) + f(1) = k + 1$

したがって、全ての自然数 $n$ に対して、$f(n) = n$ が成り立つ。

3. **$f(-n)$ (nは自然数) の値を求める:** 条件(a)で $x = n$ , $y = -n$ とすると、

$f(n + (-n)) = f(n) + f(-n)$

$f(0) = f(n) + f(-n)$

$0 = n + f(-n)$ (

1. と

2. の結果より)

したがって、$f(-n) = -n$

4. **$f(q)$ (qは整数) の値を求める:** 2.と3.より、全ての整数 $q$ に対して、$f(q) = q$ が成り立つ。

5. **$f(1/n)$ (nは自然数) の値を求める:** 条件(a)を繰り返し用いると、

$f(1) = f(1/n + 1/n + ... + 1/n)$ (1/nがn個)

$f(1) = f(1/n) + f(1/n) + ... + f(1/n)$ (1/nがn個)

$f(1) = nf(1/n)$

$1 = nf(1/n)$ (条件(b)より)

したがって、$f(1/n) = 1/n$

6. **$f(m/n)$ (m, n は自然数) の値を求める:** 5.の結果を用いると、

$f(m/n) = f(1/n + 1/n + ... + 1/n)$ (1/nがm個)

$f(m/n) = f(1/n) + f(1/n) + ... + f(1/n)$ (1/nがm個)

$f(m/n) = m f(1/n) = m (1/n) = m/n$

したがって、全ての実数 $q$ (qは有理数) に対して、$f(q) = q$ が成り立つ。

7. **連続性を用いて $f(x) = x$ を証明する:**

$f(x)$ は連続であるから、任意の実数 $x$ に対して、ある有理数列 $q_n$ が存在して、$q_n \to x$ となる。

$f(x)$ の連続性より、

$\lim_{n\to\infty} f(q_n) = f(\lim_{n\to\infty} q_n) = f(x)$

一方、$f(q_n) = q_n$ であるから、

$\lim_{n\to\infty} f(q_n) = \lim_{n\to\infty} q_n = x$

したがって、$f(x) = x$

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3. 最終的な答え

したがって、$f(x) = x$ であることが示された。