与えられた極限を計算する問題です。 $\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^{x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$\lim_{x \to \infty} (1 + a/x)^{x}$

2. 解き方の手順

極限の計算には、ネイピア数 $e$ の定義を利用します。

$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$

与えられた式を $e$ を用いて表せるように変形します。

まず、$a/x = 1/n$ と置くと、$x = an$ となります。$x \to \infty$ のとき、$n \to \infty$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{an}$

指数法則を利用して、式を変形します。

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{an} = \lim_{n \to \infty} \left((1 + \frac{1}{n})^n\right)^a$

極限の性質より、累乗の極限は極限の累乗に等しいので、

$\lim_{n \to \infty} \left((1 + \frac{1}{n})^n\right)^a = \left(\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n\right)^a$

ここで、$e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n$ を用いると、

$\left(\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n\right)^a = e^a$

3. 最終的な答え

$e^a$