実数上で定義された連続関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり、すべての有理数 $a \in \mathbb{Q}$ に対して $f(a) = g(a)$ が成り立つとき、すべての実数 $x$ について $f(x) = g(x)$ であることを示す。つまり、$f(x)$ と $g(x)$ が恒等的に等しいことを示す。

1. 問題の内容

実数上で定義された連続関数 $f(x)$ と $g(x)$ があり、すべての有理数 $a \in \mathbb{Q}$ に対して $f(a) = g(a)$ が成り立つとき、すべての実数 $x$ について $f(x) = g(x)$ であることを示す。つまり、$f(x)$ と $g(x)$ が恒等的に等しいことを示す。

2. 解き方の手順

まず、$h(x) = f(x) - g(x)$ と定義する。$f(x)$ と $g(x)$ は連続関数なので、$h(x)$ も連続関数である。また、すべての有理数 $a$ に対して $f(a) = g(a)$ が成り立つので、$h(a) = f(a) - g(a) = 0$ となる。つまり、すべての有理数 $a$ で $h(a) = 0$ である。

次に、任意の実数 $x$ を考える。実数の稠密性より、任意の $x$ に対して、有理数列 $\{a_n\}$ が存在し、$a_n \to x$ となる。

$h(x)$ は連続なので、$\lim_{n \to \infty} h(a_n) = h(\lim_{n \to \infty} a_n) = h(x)$ が成り立つ。

しかし、$h(a_n) = 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} h(a_n) = 0$ である。したがって、$h(x) = 0$ が成り立つ。

$h(x) = 0$ は、$f(x) - g(x) = 0$ と同値なので、$f(x) = g(x)$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての実数 $x$ について、$f(x) = g(x)$ である。