$f(x)$ と $g(x)$ は閉区間 $[0, 1]$ で定義された連続関数であり、次の条件を満たすとする。 (a) すべての $x \in [0, 1]$ について $0 \leq f(x) \leq 1$ (b) $g(0) = 0$, $g(1) = 1$ このとき、$f(c) = g(c)$ となる $c \in [0, 1]$ が存在することを示す。

1. 問題の内容

$f(x)$ と $g(x)$ は閉区間 $[0, 1]$ で定義された連続関数であり、次の条件を満たすとする。

(a) すべての $x \in [0, 1]$ について $0 \leq f(x) \leq 1$

(b) $g(0) = 0$, $g(1) = 1$

このとき、$f(c) = g(c)$ となる $c \in [0, 1]$ が存在することを示す。

2. 解き方の手順

まず、関数 $h(x) = f(x) - g(x)$ を定義する。$f(x)$ と $g(x)$ が連続関数であるため、$h(x)$ も連続関数である。

次に、$h(0)$ と $h(1)$ の値を調べる。

$h(0) = f(0) - g(0) = f(0) - 0 = f(0)$

条件(a)より、$0 \leq f(0) \leq 1$ なので、$h(0) \geq 0$ である。

$h(1) = f(1) - g(1) = f(1) - 1$

条件(a)より、$0 \leq f(1) \leq 1$ なので、$f(1) - 1 \leq 0$ となり、$h(1) \leq 0$ である。

中間値の定理より、閉区間 $[0, 1]$ 上の連続関数 $h(x)$ に対して、$h(0) \geq 0$ かつ $h(1) \leq 0$ であるならば、$h(c) = 0$ となる $c \in [0, 1]$ が存在する。

したがって、$h(c) = f(c) - g(c) = 0$ となる $c \in [0, 1]$ が存在し、これは $f(c) = g(c)$ を意味する。

3. 最終的な答え

$f(c) = g(c)$ となる $c \in [0, 1]$ が存在する。