$f(x)$ を奇数次数の実数を係数とする多項式とするとき、方程式 $f(x) = 0$ は少なくとも1つの実数解をもつことを示す。

1. 問題の内容

$f(x)$ を奇数次数の実数を係数とする多項式とするとき、方程式 $f(x) = 0$ は少なくとも1つの実数解をもつことを示す。

2. 解き方の手順

$f(x)$ を $n$ 次の多項式とする。ここで、$n$ は奇数である。

$f(x)$ を次のように表す。

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

ここで、$a_i$ は実数であり、$a_n \neq 0$ である。

$x$ が非常に大きいとき、$f(x)$ の符号は $a_n x^n$ の符号によって決まる。

* $x \to \infty$ のとき、$x^n \to \infty$ である。

* もし $a_n > 0$ ならば、$f(x) \to \infty$ である。

* もし $a_n < 0$ ならば、$f(x) \to -\infty$ である。

* $x \to -\infty$ のとき、$x^n \to -\infty$ である。（なぜなら、$n$ が奇数だから）

* もし $a_n > 0$ ならば、$f(x) \to -\infty$ である。

* もし $a_n < 0$ ならば、$f(x) \to \infty$ である。

したがって、もし $a_n > 0$ ならば、$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ である。

もし $a_n < 0$ ならば、$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to -\infty$ である。

いずれの場合も、$x$ が $-\infty$ から $\infty$ まで変化するとき、$f(x)$ は $-\infty$ から $\infty$ または $\infty$ から $-\infty$ へと連続的に変化する。

したがって、中間値の定理により、$f(x) = 0$ となる実数 $x$ が少なくとも1つ存在する。

3. 最終的な答え

方程式 $f(x) = 0$ は少なくとも1つの実数解をもつ。