関数 $f(x) = e^{-\sin x}$ （ただし $x > 0$ ）について、以下の問題を解く。 (1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。 (2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解をちょうど2個持つような $a$ の値の範囲を求める。ただし、$a>0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{-\sin x}$ （ただし $x > 0$ ）について、以下の問題を解く。

(1) $f(x)$ の最大値と最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求める。

(2) 方程式 $f(x) = a$ が異なる正の実数解をちょうど2個持つような $a$ の値の範囲を求める。ただし、$a>0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{-\sin x}$ の最大値と最小値の計算

まず、$\sin x$ の範囲を考える。$x>0$ なので、$-1 \le \sin x \le 1$ である。

したがって、$e^{-1} \le e^{-\sin x} \le e^{1}$ となる。

$\sin x = -1$ のとき、$f(x) = e^{-(-1)} = e$ となり、$f(x)$ は最大値 $e$ をとる。$\sin x = -1$ となるのは、$x = 2n\pi + \frac{3\pi}{2}$ ($n$ は非負整数) のときである。

$\sin x = 1$ のとき、$f(x) = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となり、$f(x)$ は最小値 $\frac{1}{e}$ をとる。$\sin x = 1$ となるのは、$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ ($n$ は非負整数) のときである。

(2) 方程式 $f(x) = a$ の解の個数

$f(x) = a$ を $e^{-\sin x} = a$ と書き換える。両辺の自然対数をとると、$-\sin x = \ln a$ より、$\sin x = -\ln a$ となる。

$x > 0$ の範囲で、$\sin x$ は $-1$ から $1$ の間の値を取る。従って、$-1 \le -\ln a \le 1$ でなければならない。

これにより、$-1 \le \ln a \le 1$ が得られ、$e^{-1} \le a \le e$ である。

$f(x) = a$ が異なる正の実数解を2個持つためには、$a$ が $f(x)$ の極大値または極小値を取る必要がある。

$a = e$ のとき、$\sin x = -1$ であり、$x = 2n\pi + \frac{3\pi}{2}$。$x > 0$ なので、$x$ は無数に存在する。よって、$a=e$ のとき、解は無数に存在する。

$a = \frac{1}{e}$ のとき、$\sin x = 1$ であり、$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$。$x > 0$ なので、$x$ は無数に存在する。よって、$a=1/e$のとき、解は無数に存在する。

$\sin x = - \ln a$ を満たす $x > 0$ の解が2つとなるには、$-1 < - \ln a < 1$が必要。つまり、$e^{-1} < a < e$。

もし $a = 1$ であれば、$\sin x = 0$ となり、$x = n\pi$ ($n$ は正整数) となる。よって解は無数にある。

問題文には $a>0$ とあるので、 $a=0$ の場合は考えない。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $e$ ($x = 2n\pi + \frac{3\pi}{2}$、$n$ は非負整数)。最小値: $\frac{1}{e}$ ($x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$、$n$ は非負整数)。

(2) $\frac{1}{e} < a < 1$

$1 < a < e$