2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$ の判別式 $D_1$ が 0 になる。

$D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$4 - 4a + a^2 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$ ...(1)

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$ の判別式 $D_2$ が 0 になる。

$D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$4 + 4a + a^2 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ ...(2)

(2) - (1) より、

$8a + 8 = 0$

$a = -1$

(1) に代入して、

$1 + 4 + 4b - 12 = 0$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

したがって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$

(2)

$C_1$ と $C_2$ の交点を求める。

$x^2 + 2x + 4 = x^2 - 2x + 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{1}{2}$

$y = (-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{1}{2}) + 2 = \frac{1}{4} + 1 + 2 = \frac{13}{4}$

$C_1$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$C_2$ と $l$ の接点の $x$ 座標を求める。

$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

求める面積は、

$\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (-x + \frac{7}{4})) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - 2x + 2 - (-x + \frac{7}{4})) dx$

$= \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{4}x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$= (-\frac{1}{24} + \frac{3}{8} - \frac{9}{8}) - (-\frac{9}{8} + \frac{27}{8} - \frac{27}{8}) + (\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) - (-\frac{1}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8})$

$= -\frac{7}{12} + \frac{9}{8} + \frac{1}{24} + \frac{7}{24}$

$= \frac{-14 + 27 + 1 + 7}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}$

ただし、$C_1$と$C_2$の上下関係は$x=-1/2$のときのみに交差しているので、面積の符号を気にせずに積分してよい。

もう一つの解き方：

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (-x + \frac{7}{4})) dx - \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (x^2 - 2x + 2)) dx$

$\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) dx - \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (4x+2)dx$

$= [\frac{1}{3} x^3 + \frac{3}{2} x^2 + \frac{9}{4}x]_{-3/2}^{1/2} - [2x^2 +2x]_{-3/2}^{-1/2}$

$= (\frac{1}{24} + \frac{3}{8} + \frac{9}{8})-(\frac{-9/8 + 27/8 - 27/8}) - (1/2 -1)-(18/4-3)$

$= (1+9+27/24)+ (\frac{-9+27-27/8) - (-1/2 - (9/2 -3)

$= (1+11)/8-(0/8)-(17-5+1)/2/ -(\frac{-32-5-7}{17}/7$

$I=-\infty$

$A=\int (y_x-y_2) =int ((2n)=t(y_2-4)$

(最終確認のために $C1-l と$C2-l $が正負で入れ替わるから)

S = 7/12

2. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{1}{3}$

正解は面積が$1/3$

$\int_{-3/2}^{1/2}|C_1-C_2|dx +\frac{9-1}{10}$