例題3で定義された関数 $f(x, y)$ について、以下のことを示します。 (1) $f(x, y)$ は原点 (0, 0) で連続である。 (2) $f_x(x, y)$, $f_y(x, y)$ は原点 (0, 0) で連続である (これにより、$f(x, y)$ はC1級であることがわかる)。 (3) $f_{xy}(x, 0)$, $f_{yx}(0, y)$ を求めることにより、$f_{xy}(x, y)$, $f_{yx}(x, y)$ は原点 (0, 0) で不連続であることを示せ。

1. 問題の内容

例題3で定義された関数 $f(x, y)$ について、以下のことを示します。

(1) $f(x, y)$ は原点 (0, 0) で連続である。

(2) $f_x(x, y)$, $f_y(x, y)$ は原点 (0, 0) で連続である (これにより、$f(x, y)$ はC1級であることがわかる)。

(3) $f_{xy}(x, 0)$, $f_{yx}(0, y)$ を求めることにより、$f_{xy}(x, y)$, $f_{yx}(x, y)$ は原点 (0, 0) で不連続であることを示せ。

2. 解き方の手順

問題文の指示通り、例題3で定義された関数$f(x, y)$を用いて問題を解きます。

(1) 関数$f(x, y)$が原点(0,0)で連続であることを示すためには、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = f(0, 0)$ を示す必要があります。

(2) $f_x(x,y)$と$f_y(x,y)$を計算し、それらが原点(0,0)で連続であることを示すためには、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_x(x, y) = f_x(0, 0)$と$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_y(x, y) = f_y(0, 0)$を示す必要があります。

(3) $f_{xy}(x, 0)$と$f_{yx}(0, y)$を計算します。$f_{xy}(x,y)$と$f_{yx}(x,y)$が原点(0,0)で不連続であることを示すためには、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_{xy}(x, y) \neq f_{xy}(0, 0)$または$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f_{yx}(x, y) \neq f_{yx}(0, 0)$を示す必要があります。または、$f_{xy}(0, 0) \neq f_{yx}(0, 0)$を示すことでもよいです。

例題3の内容が書かれていないため、具体的な計算はできません。一般的な解き方のみ示します。

3. 最終的な答え

例題3で定義された関数によって答えは異なります。

上記の手順に従い、例題3の関数を用いて計算を行ってください。

具体的な$f_{xy}(x,y)$や$f_{yx}(x,y)$の極限値などを計算することで、不連続性を示すことができます。