問題10は、$f(x, y)$ が $C^3$ 級のとき、$f_{xyx} = f_{xxy}$ かつ $f_{xyy} = f_{yyx}$ を示す問題です。 問題11は、$f(x, y)$ が $C^4$ 級のとき、$f_{xyyy} = f_{yxyy} = f_{yyxy} = f_{yyyx}$ を示す問題です。

1. 問題の内容

問題10は、$f(x, y)$ が $C^3$ 級のとき、$f_{xyx} = f_{xxy}$ かつ $f_{xyy} = f_{yyx}$ を示す問題です。

問題11は、$f(x, y)$ が $C^4$ 級のとき、$f_{xyyy} = f_{yxyy} = f_{yyxy} = f_{yyyx}$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

問題10：

$f(x, y)$ が $C^3$ 級であるとき、偏微分の順序交換定理より、3階までの偏導関数は微分する順序によらず等しくなります。

$f_{xyx} = (f_{xy})_x$ であり、$f_{xxy} = (f_{xx})_y$ です。

偏微分の順序交換定理より、$f_{xy} = f_{yx}$ が成り立ちます。

したがって、$f_{xyx} = (f_{xy})_x = (f_{yx})_x = f_{yxx}$ となります。

また、$f_{xxy} = (f_{xx})_y = f_{xxy}$ です。

ここで、$f_{yxx} = f_{xxy}$ を示します。$f_{yxx}$ は $f$ を $y$, $x$, $x$ の順に微分したもの、$f_{xxy}$ は $f$ を $x$, $x$, $y$ の順に微分したものです。偏微分の順序交換定理を2回用いると、$f_{yxx} = f_{xyx} = f_{xxy}$ が得られます。

同様に、$f_{xyy} = (f_{xy})_y$ であり、$f_{yyx} = (f_{yy})_x$ です。

偏微分の順序交換定理より、$f_{xy} = f_{yx}$ が成り立ちます。

したがって、$f_{xyy} = (f_{xy})_y = (f_{yx})_y = f_{yxy}$ となります。

また、$f_{yyx} = (f_{yy})_x = f_{yyx}$ です。

ここで、$f_{yxy} = f_{yyx}$ を示します。$f_{yxy}$ は $f$ を $y$, $x$, $y$ の順に微分したもの、$f_{yyx}$ は $f$ を $y$, $y$, $x$ の順に微分したものです。偏微分の順序交換定理を2回用いると、$f_{yxy} = f_{yyx}$ が得られます。

問題11：

$f(x, y)$ が $C^4$ 級であるとき、偏微分の順序交換定理より、4階までの偏導関数は微分する順序によらず等しくなります。

まず、$f_{xyyy} = f_{yxyy}$ を示します。これは、$f_{xy} = f_{yx}$ という関係から、$f_{xyyy} = (f_{xy})_{yy} = (f_{yx})_{yy} = f_{yxyy}$ となります。

次に、$f_{yxyy} = f_{yyxy}$ を示します。これは、$f_{xy} = f_{yx}$ という関係から、$f_{yxyy} = (f_{yx})_{yy} = f_{y(xyy)}$ です。そして $f_{yxy}=f_{yyx}$ であるから、$f_{yxyy} = (f_{yx})_{yy} = f_{yyxy}$となります。

最後に、$f_{yyxy} = f_{yyyx}$ を示します。これは、$f_{xy} = f_{yx}$ という関係から、$f_{yyxy} = f_{yyyx}$ となります。

したがって、$f_{xyyy} = f_{yxyy} = f_{yyxy} = f_{yyyx}$ が示されました。

3. 最終的な答え

問題10：

$f_{xyx} = f_{xxy}$

$f_{xyy} = f_{yyx}$

問題11：

$f_{xyyy} = f_{yxyy} = f_{yyxy} = f_{yyyx}$