次の不定積分を計算します。 $\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x+4}} dx$

## 問題の解答

以下に、問題の解答を示します。

### 問題 2

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x+4}} dx$

2. 解き方の手順

被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{6x+1}{\sqrt{3x^2+x+4}} = \frac{d/dx (3x^2+x+4)}{\sqrt{3x^2+x+4}}$

ここで、$u = 3x^2 + x + 4$ と置くと、$du = (6x+1)dx$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}}du = \int u^{-1/2} du$

$u^{-1/2}$ を積分すると、$2u^{1/2} + C$ となります。

$u$ を元に戻すと、$2\sqrt{3x^2+x+4} + C$ となります。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3x^2+x+4} + C$

### 問題 3

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{e^x}{e^x + e^{a-x}} dx$

2. 解き方の手順

被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{e^x}{e^x + e^{a-x}} = \frac{e^x}{e^x + \frac{e^a}{e^x}} = \frac{e^{2x}}{e^{2x} + e^a}$

ここで、$u = e^{2x} + e^a$ と置くと、$du = 2e^{2x} dx$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + e^a} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C$

$u$ を元に戻すと、$\frac{1}{2} \ln(e^{2x} + e^a) + C$ となります。（絶対値を外しても良い。なぜなら、$e^{2x} + e^a$は常に正であるから。）

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln(e^{2x} + e^a) + C$

### 問題 4

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{e^x+1}{e^{2x}} dx$

2. 解き方の手順

被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{e^x+1}{e^{2x}} = \frac{e^x}{e^{2x}} + \frac{1}{e^{2x}} = e^{-x} + e^{-2x}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (e^{-x} + e^{-2x}) dx = \int e^{-x} dx + \int e^{-2x} dx$

$\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C_1$

$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C_2$

3. 最終的な答え

$-e^{-x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

### 問題 5

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{(x^2-1)^2}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

被積分関数を展開します。

$\frac{(x^2-1)^2}{x^2} = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int (x^2 - 2 + x^{-2}) dx = \int x^2 dx - 2 \int dx + \int x^{-2} dx$

$\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1$

$\int dx = x + C_2$

$\int x^{-2} dx = -x^{-1} + C_3 = -\frac{1}{x} + C_3$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}x^3 - 2x - \frac{1}{x} + C$