$n$ を自然数とするとき、関数 $y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、関数 $y = (x-1)e^x$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ のいくつかの導関数を計算して、規則性を見つける。

$y = (x-1)e^x$

$y' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$

$y'' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$y''' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

$y^{(4)} = e^x + (x+2)e^x = (x+3)e^x$

一般に、

$y^{(n)} = (x+n-1)e^x$ と予想できる。

数学的帰納法で証明する。

(1) $n=1$ のとき、$y' = (x+1-1)e^x = xe^x$ であり、成立する。

(2) $n=k$ のとき、$y^{(k)} = (x+k-1)e^x$ が成立すると仮定する。

$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} [(x+k-1)e^x] = e^x + (x+k-1)e^x = (x+k)e^x$

これは、$n=k+1$ のときの式 $y^{(k+1)} = (x+(k+1)-1)e^x = (x+k)e^x$ と一致するので、$n=k+1$ のときも成立する。

したがって、数学的帰納法により、$y^{(n)} = (x+n-1)e^x$ が全ての自然数 $n$ について成り立つ。

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = (x+n-1)e^x$