与えられた定積分を計算します。特に、$x^n$や$(x+b)^n$の形に変形してから、積分公式を用いるように指示されています。問題は全部で6問あります。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。特に、$x^n$や$(x+b)^n$の形に変形してから、積分公式を用いるように指示されています。問題は全部で6問あります。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-1}^{2} x^2x^3 dx$

まず、$x^2 x^3$を$x^5$に簡略化します。

$\int_{-1}^{2} x^5 dx$

$x^5$の積分は $\frac{x^6}{6}$ です。

$\left[ \frac{x^6}{6} \right]_{-1}^{2} = \frac{2^6}{6} - \frac{(-1)^6}{6} = \frac{64}{6} - \frac{1}{6} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2}$

(2) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx$

$\frac{1}{x^4}$を$x^{-4}$と書き換えます。

$\int_{1}^{2} x^{-4} dx$

$x^{-4}$の積分は $\frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$ です。

$\left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_{1}^{2} = -\frac{1}{3(2^3)} - \left( -\frac{1}{3(1^3)} \right) = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} = \frac{-1 + 8}{24} = \frac{7}{24}$

(3) $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$

$\frac{1}{\sqrt{x^3}}$を$x^{-3/2}$と書き換えます。

$\int_{1}^{4} x^{-3/2} dx$

$x^{-3/2}$の積分は $\frac{x^{-1/2}}{-1/2} = -2x^{-1/2} = -\frac{2}{\sqrt{x}}$ です。

$\left[ -\frac{2}{\sqrt{x}} \right]_{1}^{4} = -\frac{2}{\sqrt{4}} - \left( -\frac{2}{\sqrt{1}} \right) = -\frac{2}{2} + 2 = -1 + 2 = 1$

(4) $\int_{0}^{1} x\sqrt{x} dx$

$x\sqrt{x}$を$x^{3/2}$と書き換えます。

$\int_{0}^{1} x^{3/2} dx$

$x^{3/2}$の積分は $\frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}$ です。

$\left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}(1^{5/2}) - \frac{2}{5}(0^{5/2}) = \frac{2}{5} - 0 = \frac{2}{5}$

(5) $\int_{-2}^{2} \frac{1}{(x-3)^2} dx$

$\frac{1}{(x-3)^2}$を$(x-3)^{-2}$と書き換えます。

$\int_{-2}^{2} (x-3)^{-2} dx$

$(x-3)^{-2}$の積分は $\frac{(x-3)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-3}$ です。

$\left[ -\frac{1}{x-3} \right]_{-2}^{2} = -\frac{1}{2-3} - \left( -\frac{1}{-2-3} \right) = -\frac{1}{-1} + \left( -\frac{1}{-5} \right) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

(6) $\int_{-1}^{1} \sqrt[4]{x+2} dx$

$\sqrt[4]{x+2}$を$(x+2)^{1/4}$と書き換えます。

$\int_{-1}^{1} (x+2)^{1/4} dx$

$(x+2)^{1/4}$の積分は $\frac{(x+2)^{5/4}}{5/4} = \frac{4}{5}(x+2)^{5/4}$ です。

$\left[ \frac{4}{5}(x+2)^{5/4} \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{5}(1+2)^{5/4} - \frac{4}{5}(-1+2)^{5/4} = \frac{4}{5}(3)^{5/4} - \frac{4}{5}(1)^{5/4} = \frac{4}{5}(3^{5/4} - 1) = \frac{4}{5}(3 \sqrt[4]{3} - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{21}{2}$

(2) $\frac{7}{24}$

(3) $1$

(4) $\frac{2}{5}$

(5) $\frac{4}{5}$

(6) $\frac{4}{5}(3 \sqrt[4]{3} - 1)$