定積分 $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算しやすい形に変形します。$\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$なので、

$\frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}}$

したがって、積分は

$\int_1^4 x^{-\frac{3}{2}} dx$

となります。

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} + C = -2x^{-\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{\sqrt{x}} + C$

ここで、$C$は積分定数です。

最後に、定積分の値を求めます。

$\int_1^4 x^{-\frac{3}{2}} dx = \left[-\frac{2}{\sqrt{x}}\right]_1^4 = -\frac{2}{\sqrt{4}} - \left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) = -\frac{2}{2} + \frac{2}{1} = -1 + 2 = 1$

3. 最終的な答え

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