$n$ を自然数とするとき、関数 $y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、関数 $y = e^{2x}$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{2x}$ の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。

1階導関数:

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x}$

2階導関数:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2e^{2x}) = 4e^{2x} = 2^2 e^{2x}$

3階導関数:

$\frac{d^3y}{dx^3} = \frac{d}{dx}(4e^{2x}) = 8e^{2x} = 2^3 e^{2x}$

このように、$n$階導関数は $2^n e^{2x}$ であると予想できます。

数学的帰納法を用いて証明することもできますが、ここでは省略します。

3. 最終的な答え

第 $n$ 次導関数は $2^n e^{2x}$ です。