定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ を $x$ の指数で表します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = x^{-\frac{1}{3}}$

次に、$x^{-\frac{1}{3}}$ を積分します。積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

$\int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

定積分の計算を行います。

$\int_{1}^{4} x^{-\frac{1}{3}} dx = \left[ \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \right]_{1}^{4} = \frac{3}{2} (4^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} (1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2} (4^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}$

$4^{\frac{2}{3}}$ を計算します。

$4^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}$

したがって、

$\frac{3}{2} (4^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} (2\sqrt[3]{2}) - \frac{3}{2} = 3\sqrt[3]{2} - \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt[3]{2} - \frac{3}{2}$