1. 問題の内容
を自然数とするとき、 の第 次導関数を求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、 の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。
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これらの結果から、 の 次導関数は、 であると推測できます。
数学的帰納法でこのことを証明します。
1. $n=1$ のとき、$y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ なので、成立します。
2. $n=k$ のとき、$y^{(k)} = \sin(x + k \frac{\pi}{2})$ が成立すると仮定します。
3. $n=k+1$ のとき、$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} \sin(x + k \frac{\pi}{2}) = \cos(x + k \frac{\pi}{2}) = \sin(x + k \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \sin(x + (k+1) \frac{\pi}{2})$ となり、$n=k+1$ でも成立します。
したがって、数学的帰納法により、 の 次導関数は であることが証明されました。