$n$ を自然数とするとき、$y = \sin x$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。

解析学三角関数微分導関数数学的帰納法
2025/7/3

1. 問題の内容

nn を自然数とするとき、y=sinxy = \sin x の第 nn 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、y=sinxy = \sin x の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけます。
* y=sinxy = \sin x
* y=cosx=sin(x+π2)y' = \cos x = \sin (x + \frac{\pi}{2})
* y=sinx=sin(x+π)=sin(x+2π2)y'' = -\sin x = \sin (x + \pi) = \sin (x + 2\cdot\frac{\pi}{2})
* y=cosx=sin(x+3π2)y''' = -\cos x = \sin (x + \frac{3\pi}{2})
* y=sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π2)y'''' = \sin x = \sin (x + 2\pi) = \sin (x + 4\cdot\frac{\pi}{2})
これらの結果から、sinx\sin xnn 次導関数は、sin(x+nπ2)\sin (x + n \frac{\pi}{2}) であると推測できます。
数学的帰納法でこのことを証明します。

1. $n=1$ のとき、$y' = \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ なので、成立します。

2. $n=k$ のとき、$y^{(k)} = \sin(x + k \frac{\pi}{2})$ が成立すると仮定します。

3. $n=k+1$ のとき、$y^{(k+1)} = \frac{d}{dx} y^{(k)} = \frac{d}{dx} \sin(x + k \frac{\pi}{2}) = \cos(x + k \frac{\pi}{2}) = \sin(x + k \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \sin(x + (k+1) \frac{\pi}{2})$ となり、$n=k+1$ でも成立します。

したがって、数学的帰納法により、y=sinxy = \sin xnn 次導関数は sin(x+nπ2)\sin(x + n \frac{\pi}{2}) であることが証明されました。

3. 最終的な答え

sin(x+nπ2)\sin(x + n\frac{\pi}{2})

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