実数 $a, b$ ($0 \le a < \frac{\pi}{4}, 0 \le b < \frac{\pi}{4}$) に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。 $\sqrt{\tan a \cdot \tan b} \le \tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{2} (\tan a + \tan b)$

1. 問題の内容

実数 $a, b$ ($0 \le a < \frac{\pi}{4}, 0 \le b < \frac{\pi}{4}$) に対して、次の不等式が成り立つことを示す問題です。

$\sqrt{\tan a \cdot \tan b} \le \tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{2} (\tan a + \tan b)$

2. 解き方の手順

不等式を２つに分けて証明します。

(1) $\sqrt{\tan a \cdot \tan b} \le \tan \left(\frac{a+b}{2}\right)$ の証明

$x = \tan a, y = \tan b$ とおくと、$x, y \ge 0$ です。

示すべき式は $\sqrt{xy} \le \tan \left(\frac{\arctan x + \arctan y}{2}\right)$ となります。

ここで、関数 $f(t) = \arctan t$ は、$t > 0$ で上に凸な関数です。

したがって、イェンセンの不等式より、

$\frac{f(x) + f(y)}{2} \le f\left(\frac{x+y}{2}\right)$

$\frac{\arctan x + \arctan y}{2} \le \arctan \left(\frac{x+y}{2}\right)$

ここで、$g(t) = \tan t$ は、$0 \le t < \frac{\pi}{2}$ で単調増加関数なので、

$\tan \left(\frac{\arctan x + \arctan y}{2}\right) \le \tan \left(\arctan \left(\frac{x+y}{2}\right)\right) = \frac{x+y}{2}$

相加平均・相乗平均の関係より $\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2}$。

したがって、$\sqrt{\tan a \tan b} \le \frac{\tan a + \tan b}{2}$

$a=b$ の時、$\sqrt{\tan a \cdot \tan b} = \tan a$かつ$\tan(\frac{a+b}{2}) = \tan a$なので、等号が成立。

$\arctan x$が凸関数であることより、$\tan(\frac{\arctan x + \arctan y}{2}) \ge \sqrt{xy}$

$\sqrt{\tan a \cdot \tan b} \le \tan(\frac{a+b}{2})$が成り立つ

(2) $\tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{2} (\tan a + \tan b)$ の証明

$f(x) = \tan x$ とおく。区間 $[0, \frac{\pi}{4})$ において、$f(x)$ は下に凸な関数である。よって、イェンセンの不等式より、

$f(\frac{a+b}{2}) \le \frac{f(a) + f(b)}{2}$

$\tan(\frac{a+b}{2}) \le \frac{\tan a + \tan b}{2}$

よって、$\tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{2} (\tan a + \tan b)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\sqrt{\tan a \cdot \tan b} \le \tan \left(\frac{a+b}{2}\right) \le \frac{1}{2} (\tan a + \tan b)$