定積分 $\int_{-2}^{2} \frac{1}{(x-3)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} \frac{1}{(x-3)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $\frac{1}{(x-3)^2}$ の原始関数を求めます。

$u = x-3$ と置換すると、$du = dx$ となり、

$\int \frac{1}{(x-3)^2} dx = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{x-3} + C$

となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} \frac{1}{(x-3)^2} dx = \left[-\frac{1}{x-3}\right]_{-2}^{2} = -\frac{1}{2-3} - \left(-\frac{1}{-2-3}\right) = -\frac{1}{-1} + \frac{1}{-5} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5}$