定積分 $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像の積分問題について、それぞれ解いていきます。

### (1)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = [x^6 + x^5 + \frac{1}{x}]_{1}^{2}$

$= (2^6 + 2^5 + \frac{1}{2}) - (1^6 + 1^5 + \frac{1}{1})$

$= (64 + 32 + \frac{1}{2}) - (1 + 1 + 1)$

$= 96 + \frac{1}{2} - 3$

$= 93 + \frac{1}{2} = \frac{187}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{187}{2}$

### (2)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

与えられた積分は、

$\int_{1}^{4} (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = \int_{1}^{4} (2x^{-3/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 9x^2) dx$

$\int (2x^{-3/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 9x^2) dx = 2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 9 \cdot \frac{x^3}{3} + C$

$= -4x^{-1/2} + \sqrt{2} x^{1/2} + 3x^3 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (2x^{-3/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 9x^2) dx = [-4x^{-1/2} + \sqrt{2} x^{1/2} + 3x^3]_{1}^{4}$

$= (-4(4)^{-1/2} + \sqrt{2} (4)^{1/2} + 3(4)^3) - (-4(1)^{-1/2} + \sqrt{2} (1)^{1/2} + 3(1)^3)$

$= (-4 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + 3 \cdot 64) - (-4 + \sqrt{2} + 3)$

$= (-2 + 2\sqrt{2} + 192) - (-1 + \sqrt{2})$

$= 190 + 2\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}$

$= 191 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$191 + \sqrt{2}$

### (3)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)(\frac{1}{x^3}+1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$(x-1)(\frac{1}{x^3}+1) = \frac{x}{x^3} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = \frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1$

$\int (\frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1) dx = \int (x^{-2} + x - x^{-3} - 1) dx = -x^{-1} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-2}}{-2} - x + C$

$= -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{-1} (\frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1) dx = [-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x]_{-2}^{-1}$

$= (-\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^2}{2} + \frac{1}{2(-1)^2} - (-1)) - (-\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^2}{2} + \frac{1}{2(-2)^2} - (-2))$

$= (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{8} + 2)$

$= 3 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{8} + 4) = 3 - (\frac{4+1}{8} + 4) = 3 - (\frac{5}{8} + 4) = 3 - \frac{37}{8}$

$= \frac{24-37}{8} = -\frac{13}{8}$

3. 最終的な答え

$-\frac{13}{8}$

### (4)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{x^{3/2}}{x} - \frac{x^{1/2}}{x} = x + x^{1/2} - x^{-1/2}$

$\int (x + x^{1/2} - x^{-1/2}) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x^{3/2} - 2 x^{1/2} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx = [\frac{x^2}{2} + \frac{2}{3} x^{3/2} - 2 x^{1/2}]_{2}^{3}$

$= (\frac{3^2}{2} + \frac{2}{3} 3^{3/2} - 2 \cdot 3^{1/2}) - (\frac{2^2}{2} + \frac{2}{3} 2^{3/2} - 2 \cdot 2^{1/2})$

$= (\frac{9}{2} + \frac{2}{3} 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - (\frac{4}{2} + \frac{2}{3} 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2})$

$= (\frac{9}{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - (2 + \frac{4}{3}\sqrt{2} - 2\sqrt{2})$

$= \frac{9}{2} - (2 + (\frac{4}{3} - 2)\sqrt{2}) = \frac{9}{2} - (2 - \frac{2}{3}\sqrt{2}) = \frac{9}{2} - 2 + \frac{2}{3}\sqrt{2} = \frac{5}{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3}$