与えられた4つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$ (2) $\int_{1}^{4} (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$ (3) $\int_{-2}^{-1} (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$ (4) $\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{1}^{2} (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx$

(2) $\int_{1}^{4} (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx$

(3) $\int_{-2}^{-1} (x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) dx$

(4) $\int_{2}^{3} \frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を計算します。

$\int (6x^5 + 5x^4 - \frac{1}{x^2}) dx = x^6 + x^5 + \frac{1}{x} + C$

次に、積分範囲で評価します。

$[x^6 + x^5 + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (2^6 + 2^5 + \frac{1}{2}) - (1^6 + 1^5 + \frac{1}{1}) = (64 + 32 + \frac{1}{2}) - (1 + 1 + 1) = 96 + \frac{1}{2} - 3 = 93 + \frac{1}{2} = \frac{187}{2}$

(2)

まず、積分を計算します。

$\int (\sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2) dx = \int (\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{2}x^{\frac{1}{2}}} + 9x^2) dx$

$= 2\int x^{-\frac{3}{2}} dx + \frac{1}{\sqrt{2}}\int x^{-\frac{1}{2}} dx + 9\int x^2 dx$

$= 2(\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}) + 9(\frac{x^3}{3}) + C$

$= -4x^{-\frac{1}{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}}x^{\frac{1}{2}} + 3x^3 + C = -\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3 + C$

次に、積分範囲で評価します。

$[-\frac{4}{\sqrt{x}} + \sqrt{2x} + 3x^3]_{1}^{4} = (-\frac{4}{\sqrt{4}} + \sqrt{2(4)} + 3(4)^3) - (-\frac{4}{\sqrt{1}} + \sqrt{2(1)} + 3(1)^3)$

$= (-\frac{4}{2} + \sqrt{8} + 3(64)) - (-4 + \sqrt{2} + 3) = (-2 + 2\sqrt{2} + 192) - (-1 + \sqrt{2}) = 190 + 2\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 191 + \sqrt{2}$

(3)

まず、被積分関数を展開します。

$(x-1)(\frac{1}{x^3} + 1) = \frac{x}{x^3} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = \frac{1}{x^2} + x - \frac{1}{x^3} - 1 = x^{-2} + x - x^{-3} - 1$

次に、積分を計算します。

$\int (x^{-2} + x - x^{-3} - 1) dx = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-2}}{-2} - x + C = -\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x + C$

次に、積分範囲で評価します。

$[-\frac{1}{x} + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^2} - x]_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^2}{2} + \frac{1}{2(-1)^2} - (-1)) - (-\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^2}{2} + \frac{1}{2(-2)^2} - (-2))$

$= (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{2} + \frac{4}{2} + \frac{1}{8} + 2) = (3) - (\frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{8} + 2) = 3 - (\frac{4}{8} + \frac{16}{8} + \frac{1}{8} + \frac{16}{8}) = 3 - \frac{37}{8} = \frac{24}{8} - \frac{37}{8} = -\frac{13}{8}$

(4)

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{x^2 + \sqrt{x^3} - \sqrt{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}$

次に、積分を計算します。

$\int (x + x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} + C$

次に、積分範囲で評価します。

$[\frac{x^2}{2} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{3} = (\frac{3^2}{2} + \frac{2}{3}(3)^{\frac{3}{2}} - 2(3)^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2^2}{2} + \frac{2}{3}(2)^{\frac{3}{2}} - 2(2)^{\frac{1}{2}})$

$= (\frac{9}{2} + \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 2\sqrt{3}) - (\frac{4}{2} + \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) - 2\sqrt{2})$

$= (\frac{9}{2} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) - (2 + \frac{4\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2}) = \frac{9}{2} - (2 + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{6\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{2} - (2 - \frac{2\sqrt{2}}{3}) = \frac{9}{2} - 2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{5}{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{15 + 4\sqrt{2}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{187}{2}$

(2) $191 + \sqrt{2}$

(3) $-\frac{13}{8}$

(4) $\frac{15 + 4\sqrt{2}}{6}$