与えられた定積分 $\int_{\pi}^{0} e^{2t} (2t \cos t - 4t) dt$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{\pi}^{0} e^{2t} (2t \cos t - 4t) dt$

を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つの部分に分割する。

$\int_{\pi}^{0} e^{2t} (2t \cos t - 4t) dt = \int_{\pi}^{0} 2te^{2t} \cos t dt - \int_{\pi}^{0} 4te^{2t} dt$

次に、それぞれの積分を個別に計算する。

(1) $\int_{\pi}^{0} 2te^{2t} \cos t dt$

部分積分を適用する。$u = 2t, dv = e^{2t} \cos t dt$ とすると、$du = 2 dt$ となる。

$v$ を求めるために、$e^{2t} \cos t$ の積分を計算する。

$\int e^{2t} \cos t dt = \frac{1}{5} e^{2t} (2\cos t + \sin t)$

したがって、$v = \frac{1}{5} e^{2t} (2\cos t + \sin t)$ となる。

$\int_{\pi}^{0} 2te^{2t} \cos t dt = \left[ 2t \cdot \frac{1}{5} e^{2t} (2\cos t + \sin t) \right]_{\pi}^{0} - \int_{\pi}^{0} 2 \cdot \frac{1}{5} e^{2t} (2\cos t + \sin t) dt$

$= \left[ \frac{2}{5} t e^{2t} (2\cos t + \sin t) \right]_{\pi}^{0} - \frac{2}{5} \int_{\pi}^{0} e^{2t} (2\cos t + \sin t) dt$

$= \left[ \frac{2}{5} t e^{2t} (2\cos t + \sin t) \right]_{\pi}^{0} - \frac{2}{5} \left[ \frac{1}{5} e^{2t} (4\sin t - 3\cos t) \right]_{\pi}^{0}$

$= 0 - \frac{2}{5} \pi e^{2\pi} (2(-1) + 0) - \frac{2}{25} \left[ e^{2t} (4\sin t - 3\cos t) \right]_{\pi}^{0}$

$= \frac{4}{5} \pi e^{2\pi} - \frac{2}{25} \left[ (0 - 3) - e^{2\pi} (0 - 3(-1)) \right]$

$= \frac{4}{5} \pi e^{2\pi} - \frac{2}{25} (-3 - 3e^{2\pi})$

$= \frac{4}{5} \pi e^{2\pi} + \frac{6}{25} + \frac{6}{25} e^{2\pi}$

(2) $\int_{\pi}^{0} 4te^{2t} dt$

部分積分を適用する。$u = 4t, dv = e^{2t} dt$ とすると、$du = 4 dt, v = \frac{1}{2} e^{2t}$ となる。

$\int_{\pi}^{0} 4te^{2t} dt = \left[ 4t \cdot \frac{1}{2} e^{2t} \right]_{\pi}^{0} - \int_{\pi}^{0} 4 \cdot \frac{1}{2} e^{2t} dt$

$= \left[ 2t e^{2t} \right]_{\pi}^{0} - \int_{\pi}^{0} 2 e^{2t} dt$

$= 0 - 2\pi e^{2\pi} - \left[ e^{2t} \right]_{\pi}^{0}$

$= -2\pi e^{2\pi} - (1 - e^{2\pi})$

$= -2\pi e^{2\pi} - 1 + e^{2\pi}$

したがって、

$\int_{\pi}^{0} e^{2t} (2t \cos t - 4t) dt = \frac{4}{5} \pi e^{2\pi} + \frac{6}{25} + \frac{6}{25} e^{2\pi} - (-2\pi e^{2\pi} - 1 + e^{2\pi})$

$= \frac{4}{5} \pi e^{2\pi} + \frac{6}{25} + \frac{6}{25} e^{2\pi} + 2\pi e^{2\pi} + 1 - e^{2\pi}$

$= \left(\frac{4}{5} + 2 \right) \pi e^{2\pi} + \left( \frac{6}{25} - 1 \right) e^{2\pi} + \frac{6}{25} + 1$

$= \frac{14}{5} \pi e^{2\pi} - \frac{19}{25} e^{2\pi} + \frac{31}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{5} \pi e^{2\pi} - \frac{19}{25} e^{2\pi} + \frac{31}{25}$