与えられた定積分 $\int_{-1}^{1} \sqrt[4]{x+2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{-1}^{1} \sqrt[4]{x+2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を指数関数として書き換えます。

$\sqrt[4]{x+2} = (x+2)^{\frac{1}{4}}$

次に、不定積分を計算します。

$u = x+2$ と置換すると、$du = dx$ となります。

よって、

$\int (x+2)^{\frac{1}{4}} \, dx = \int u^{\frac{1}{4}} \, du$

積分を実行すると、

$\int u^{\frac{1}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} + C = \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

元の変数に戻すと、

$\int (x+2)^{\frac{1}{4}} \, dx = \frac{4}{5} (x+2)^{\frac{5}{4}} + C$

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (x+2)^{\frac{1}{4}} \, dx = \left[ \frac{4}{5} (x+2)^{\frac{5}{4}} \right]_{-1}^{1}$

積分の上限と下限を代入します。

$\frac{4}{5} (1+2)^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} (-1+2)^{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} (3)^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{5} (1)^{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} (3^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} (1)$

$= \frac{4}{5} (3^{\frac{5}{4}} - 1)$

$3^{\frac{5}{4}}$ は $3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$ と書けます。

したがって、

$\frac{4}{5} (3 \cdot 3^{\frac{1}{4}} - 1) = \frac{4}{5} (3 \sqrt[4]{3} - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5} (3 \sqrt[4]{3} - 1)$