関数 $f(x, y)$ が次のように定義されています。 $ f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & ((x, y) \neq (0, 0)) \\ 0 & ((x, y) = (0, 0)) \end{cases} $ このとき、$f_{xy}(0, 0) \neq f_{yx}(0, 0)$ を示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が次のように定義されています。

$f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2} & ((x, y) \neq (0, 0)) \\ 0 & ((x, y) = (0, 0)) \end{cases}$

このとき、$f_{xy}(0, 0) \neq f_{yx}(0, 0)$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算します。

- $(x, y) \neq (0, 0)$ のとき:

$f_x = \frac{y(x^4 - y^4 + 4x^2y^2)}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_y = \frac{x(x^4 - y^4 - 4x^2y^2)}{(x^2 + y^2)^2}$

- $(x, y) = (0, 0)$ のとき:

$f(x, 0) = 0$ なので、$f_x(0, 0) = 0$

$f(0, y) = 0$ なので、$f_y(0, 0) = 0$

(2) 次に、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を定義に従って計算します。

$f_{xy}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0, k) - f_x(0, 0)}{k}$

$f_x(0, k) = \frac{k(0 - k^4 + 0)}{(0 + k^2)^2} = \frac{-k^5}{k^4} = -k$ なので、

$f_{xy}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{-k - 0}{k} = -1$

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h, 0) - f_y(0, 0)}{h}$

$f_y(h, 0) = \frac{h(h^4 - 0 - 0)}{(h^2 + 0)^2} = \frac{h^5}{h^4} = h$ なので、

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{h - 0}{h} = 1$

(3) 最後に、$f_{xy}(0, 0) \neq f_{yx}(0, 0)$ を確認します。

$f_{xy}(0, 0) = -1$ であり、$f_{yx}(0, 0) = 1$ なので、$f_{xy}(0, 0) \neq f_{yx}(0, 0)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$f_{xy}(0, 0) \neq f_{yx}(0, 0)$