関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ が全微分可能であるとき、以下の2つの式が成り立つことを示す問題です。 (1) $d(\alpha f + \beta g) = \alpha df + \beta dg$ ($\alpha, \beta$ は実数) (2) $d(fg) = g df + f dg$

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ と $g(x, y)$ が全微分可能であるとき、以下の2つの式が成り立つことを示す問題です。

(1) $d(\alpha f + \beta g) = \alpha df + \beta dg$ ($\alpha, \beta$ は実数)

(2) $d(fg) = g df + f dg$

2. 解き方の手順

(1)

全微分の定義より、$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ と $dg = \frac{\partial g}{\partial x} dx + \frac{\partial g}{\partial y} dy$ が成り立ちます。

$h = \alpha f + \beta g$ とおくと、$dh = \frac{\partial h}{\partial x} dx + \frac{\partial h}{\partial y} dy$ となります。

ここで、$\frac{\partial h}{\partial x} = \alpha \frac{\partial f}{\partial x} + \beta \frac{\partial g}{\partial x}$ および $\frac{\partial h}{\partial y} = \alpha \frac{\partial f}{\partial y} + \beta \frac{\partial g}{\partial y}$ であるから、

$dh = (\alpha \frac{\partial f}{\partial x} + \beta \frac{\partial g}{\partial x}) dx + (\alpha \frac{\partial f}{\partial y} + \beta \frac{\partial g}{\partial y}) dy$

$= \alpha (\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy) + \beta (\frac{\partial g}{\partial x} dx + \frac{\partial g}{\partial y} dy)$

$= \alpha df + \beta dg$

よって、$d(\alpha f + \beta g) = \alpha df + \beta dg$ が成り立ちます。

(2)

$h = fg$ とおくと、$dh = \frac{\partial h}{\partial x} dx + \frac{\partial h}{\partial y} dy$ となります。

ここで、$\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial (fg)}{\partial x} = g \frac{\partial f}{\partial x} + f \frac{\partial g}{\partial x}$ および $\frac{\partial h}{\partial y} = \frac{\partial (fg)}{\partial y} = g \frac{\partial f}{\partial y} + f \frac{\partial g}{\partial y}$ であるから、

$dh = (g \frac{\partial f}{\partial x} + f \frac{\partial g}{\partial x}) dx + (g \frac{\partial f}{\partial y} + f \frac{\partial g}{\partial y}) dy$

$= g (\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy) + f (\frac{\partial g}{\partial x} dx + \frac{\partial g}{\partial y} dy)$

$= g df + f dg$

よって、$d(fg) = g df + f dg$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $d(\alpha f + \beta g) = \alpha df + \beta dg$

(2) $d(fg) = g df + f dg$