以下の2つの曲面上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ における接平面の方程式を求める問題です。ただし、$a, b, c$ は正の定数とします。 (1) $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ (2) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ($z_0 \neq 0$ のとき)

1. 問題の内容

以下の2つの曲面上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ における接平面の方程式を求める問題です。ただし、$a, b, c$ は正の定数とします。

(1) $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$

(2) $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ($z_0 \neq 0$ のとき)

2. 解き方の手順

(1) の場合

まず、曲面を $F(x, y, z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - z = 0$ と定義します。

接平面の法線ベクトルは、勾配ベクトル $\nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$ で与えられます。

各偏微分を計算します。

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{2x}{a^2}$

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{2y}{b^2}$

$\frac{\partial F}{\partial z} = -1$

したがって、勾配ベクトルは

$\nabla F = (\frac{2x}{a^2}, \frac{2y}{b^2}, -1)$

点 $(x_0, y_0, z_0)$ における勾配ベクトルは

$\nabla F(x_0, y_0, z_0) = (\frac{2x_0}{a^2}, \frac{2y_0}{b^2}, -1)$

接平面の方程式は、この勾配ベクトルを法線ベクトルとして、次のように与えられます。

$\frac{2x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y - y_0) - (z - z_0) = 0$

これを整理します。

$\frac{2x_0 x}{a^2} - \frac{2x_0^2}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - \frac{2y_0^2}{b^2} - z + z_0 = 0$

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - z = \frac{2x_0^2}{a^2} + \frac{2y_0^2}{b^2} - z_0$

点 $(x_0, y_0, z_0)$ は曲面上にあるので、$z_0 = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2}$ が成り立ちます。

したがって、右辺は

$\frac{2x_0^2}{a^2} + \frac{2y_0^2}{b^2} - (\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2}) = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = z_0$

よって、接平面の方程式は

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - z = z_0$

$z = \frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - z_0$

(2) の場合

曲面を $F(x, y, z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} - 1 = 0$ と定義します。

接平面の法線ベクトルは、勾配ベクトル $\nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z})$ で与えられます。

各偏微分を計算します。

$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{2x}{a^2}$

$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{2y}{b^2}$

$\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{2z}{c^2}$

したがって、勾配ベクトルは

$\nabla F = (\frac{2x}{a^2}, \frac{2y}{b^2}, \frac{2z}{c^2})$

点 $(x_0, y_0, z_0)$ における勾配ベクトルは

$\nabla F(x_0, y_0, z_0) = (\frac{2x_0}{a^2}, \frac{2y_0}{b^2}, \frac{2z_0}{c^2})$

接平面の方程式は、この勾配ベクトルを法線ベクトルとして、次のように与えられます。

$\frac{2x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{2y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{2z_0}{c^2}(z - z_0) = 0$

これを整理します。

$\frac{2x_0 x}{a^2} - \frac{2x_0^2}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - \frac{2y_0^2}{b^2} + \frac{2z_0 z}{c^2} - \frac{2z_0^2}{c^2} = 0$

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} + \frac{2z_0 z}{c^2} = \frac{2x_0^2}{a^2} + \frac{2y_0^2}{b^2} + \frac{2z_0^2}{c^2}$

点 $(x_0, y_0, z_0)$ は曲面上にあるので、$\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0^2}{c^2} = 1$ が成り立ちます。

したがって、右辺は

$2(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0^2}{c^2}) = 2 \cdot 1 = 2$

よって、接平面の方程式は

$\frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} + \frac{2z_0 z}{c^2} = 2$

$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{2x_0 x}{a^2} + \frac{2y_0 y}{b^2} - z_0$

(2) $\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = 1$