問題は以下の通りです。 - $f'(x) = 2(x-1)$ かつ $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。 - $f(x) = \int_a^x g(t) dt$ を満たす関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求める。 - 関数 $h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

- $f'(x) = 2(x-1)$ かつ $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

- $f(x) = \int_a^x g(t) dt$ を満たす関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求める。

- 関数 $h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ を求める。

$f'(x) = 2(x-1)$ なので、これを積分すると

$f(x) = \int 2(x-1) dx = x^2 - 2x + C$ （$C$は積分定数）

$f(-1) = 0$ より、

$(-1)^2 - 2(-1) + C = 0$

$1 + 2 + C = 0$

$C = -3$

よって、$f(x) = x^2 - 2x - 3$

(2) 関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求める。

$f(x) = \int_a^x g(t) dt$

この両辺を $x$ で微分すると、$f'(x) = g(x)$

$f'(x) = 2(x-1) = 2x - 2$ なので、$g(x) = 2x - 2$

また、$f(a) = \int_a^a g(t) dt = 0$

$f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$ なので、$f(a) = 0$ となる $a$ は $a = 3$ または $a = -1$

$f(x)=\int_a^x g(t)dt$に$x=a$を代入すると、$f(a)=0$

$a=3$または$a=-1$

$f(x) = \int_a^x (2t-2)dt = [t^2-2t]_a^x = (x^2-2x) - (a^2-2a)$

$f(x) = x^2-2x-3$より、

$(x^2-2x) - (a^2-2a) = x^2-2x-3$

$- (a^2-2a) = -3$

$a^2-2a = 3$

$a^2-2a-3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

$a=3, -1$

$f(x) = \int_a^x g(t) dt$より$f(a) = 0$が成り立つ。

$f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$なので、$f(3) = 0, f(-1) = 0$

したがって、$a = 3$ または $a = -1$

$g(x) = f'(x) = 2x - 2$

(3) 関数 $h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求める。

$h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt = \int_{-x}^x (t^2 - 2t - 3) dt$

$= [\frac{1}{3}t^3 - t^2 - 3t]_{-x}^x = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x) - (-\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x) = \frac{2}{3}x^3 - 6x$

$h'(x) = 2x^2 - 6 = 2(x^2 - 3) = 2(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

$h'(x) = 0$ となるのは $x = \pm \sqrt{3}$

$h''(x) = 4x$

$h''(\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} > 0$ なので、$x = \sqrt{3}$ で極小値をとる。

$h''(-\sqrt{3}) = -4\sqrt{3} < 0$ なので、$x = -\sqrt{3}$ で極大値をとる。

$h(\sqrt{3}) = \frac{2}{3}(\sqrt{3})^3 - 6\sqrt{3} = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$h(-\sqrt{3}) = \frac{2}{3}(-\sqrt{3})^3 - 6(-\sqrt{3}) = \frac{2}{3}(-3\sqrt{3}) + 6\sqrt{3} = -2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2 - 2x - 3$

(2) $g(x) = 2x - 2$, $a = 3$ または $a = -1$

(3) $x = -\sqrt{3}$ で極大値 $4\sqrt{3}$, $x = \sqrt{3}$ で極小値 $-4\sqrt{3}$