与えられた条件 $f'(x) = 2(x-1)$ と $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) 関数 $f(x)$ を求めます。 (2) 等式 $f(x) = \int_a^x g(t) dt$ を満たす関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求めます。 (3) 関数 $h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件 $f'(x) = 2(x-1)$ と $f(-1) = 0$ を満たす関数 $f(x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) 関数 $f(x)$ を求めます。

(2) 等式 $f(x) = \int_a^x g(t) dt$ を満たす関数 $g(x)$ と定数 $a$ の値を求めます。

(3) 関数 $h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を求める。

$f'(x) = 2(x-1)$ を積分すると、

$f(x) = \int 2(x-1) dx = x^2 - 2x + C$ (Cは積分定数)

条件 $f(-1) = 0$ より、

$(-1)^2 - 2(-1) + C = 0$

$1 + 2 + C = 0$

$C = -3$

よって、$f(x) = x^2 - 2x - 3$

(2) $g(x)$ と $a$ を求める。

$f(x) = \int_a^x g(t) dt$ の両辺を $x$ で微分すると、

$f'(x) = g(x)$

$g(x) = 2(x-1) = 2x - 2$

また、$f(a) = \int_a^a g(t) dt = 0$ より、

$f(a) = a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a-3)(a+1) = 0$

$a = 3, -1$

ここで、$f(x) = \int_a^x g(t) dt$ という関係から、$f(a)=0$です。$a$が-1のとき、$f(-1) = 0$となり問題の条件と合致します。$a$が3のとき、$f(3)=0$ですが、$f(-1)=0$という条件があるので、$a=-1$となります。

(3) $h(x)$ の極値を求める。

$h(x) = \int_{-x}^x f(t) dt$ を微分すると、

$h'(x) = f(x) - f(-x) \cdot (-1) = f(x) + f(-x)$

$h'(x) = (x^2 - 2x - 3) + ((-x)^2 - 2(-x) - 3) = x^2 - 2x - 3 + x^2 + 2x - 3 = 2x^2 - 6$

$h'(x) = 2(x^2 - 3)$

$h'(x) = 0$ となるのは、$x^2 = 3$ のときなので、$x = \pm \sqrt{3}$

$h''(x) = 4x$

$h''(\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} > 0$ なので、$x = \sqrt{3}$ で極小値をとる。

$h''(-\sqrt{3}) = -4\sqrt{3} < 0$ なので、$x = -\sqrt{3}$ で極大値をとる。

$h(\sqrt{3}) = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} f(t) dt = \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (t^2 - 2t - 3) dt = \left[\frac{1}{3}t^3 - t^2 - 3t\right]_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$

$= \left(\frac{1}{3}(3\sqrt{3}) - 3 - 3\sqrt{3}\right) - \left(\frac{1}{3}(-3\sqrt{3}) - 3 + 3\sqrt{3}\right)$

$= \sqrt{3} - 3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} + 3 - 3\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

$h(-\sqrt{3}) = \int_{\sqrt{3}}^{-\sqrt{3}} f(t) dt = -\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}} f(t) dt = -(-4\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^2 - 2x - 3$

(2) $g(x) = 2x - 2$, $a = -1$

(3) $x = -\sqrt{3}$ で極大値 $4\sqrt{3}$、 $x = \sqrt{3}$ で極小値 $-4\sqrt{3}$ をとる。