与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x$軸との角度$\theta$ $(0 \le \theta < 2\pi)$ である方向 $l$ における、点 $(0, 0)$ での方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ が存在するような $\alpha, \beta$ の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ の値を求めます。 (2) $f(x, y)$ が (全) 微分可能となる $\alpha, \beta$ の条件を求めます。

解析学方向微分全微分偏微分極限
2025/7/2

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x,y)f(x, y) について、以下の問いに答えます。
(1) xx軸との角度θ\theta (0θ<2π)(0 \le \theta < 2\pi) である方向 ll における、点 (0,0)(0, 0) での方向微分係数 fl(0,0)\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) が存在するような α,β\alpha, \beta の条件を求め、そのときの fl(0,0)\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) の値を求めます。
(2) f(x,y)f(x, y) が (全) 微分可能となる α,β\alpha, \beta の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1)
方向 ll の単位ベクトルを (cosθ,sinθ)(cos\theta, sin\theta) とします。 方向微分係数は、定義より
fl(0,0)=limt0f(tcosθ,tsinθ)f(0,0)t\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t cos\theta, t sin\theta) - f(0, 0)}{t}
です。f(0,0)=0f(0, 0) = 0 なので、
fl(0,0)=limt0f(tcosθ,tsinθ)t=limt0tcosθαtsinθβt\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t cos\theta, t sin\theta)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{|t cos\theta|^\alpha |t sin\theta|^\beta}{t}
=limt0tα+βcosθαsinθβt=\lim_{t \to 0} \frac{|t|^{\alpha + \beta} |cos\theta|^\alpha |sin\theta|^\beta}{t}
=limt0tα+β1cosθαsinθβsgn(t)=\lim_{t \to 0} |t|^{\alpha + \beta -1} \frac{|cos\theta|^\alpha |sin\theta|^\beta}{sgn(t)}
θ=0\theta = 0 または θ=π\theta = \pi (つまり sinθ=0sin\theta = 0)のとき、fl(0,0)=limt0tcosθαtsinθβt=0\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{|t cos\theta|^\alpha |t sin\theta|^\beta}{t} = 0.
θ=π2\theta = \frac{\pi}{2} または θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} (つまり cosθ=0cos\theta = 0)のとき、fl(0,0)=limt0tcosθαtsinθβt=0\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{|t cos\theta|^\alpha |t sin\theta|^\beta}{t} = 0.
それ以外の場合、極限が存在するためには α+β1>0\alpha + \beta - 1 > 0 つまり α+β>1\alpha + \beta > 1 が必要です。
このとき、fl(0,0)=0\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0 となります。
よって、α+β>1\alpha + \beta > 1 のとき、任意の方向 ll に対して方向微分係数が存在し、その値は 0 です。
(2)
f(x,y)f(x, y)(0,0)(0, 0) で全微分可能であるための条件は、
(i) 偏微分係数 fx(0,0)f_x(0, 0)fy(0,0)f_y(0, 0) が存在すること
(ii) lim(h,k)(0,0)f(h,k)f(0,0)fx(0,0)hfy(0,0)kh2+k2=0\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{f(h, k) - f(0, 0) - f_x(0, 0)h - f_y(0, 0)k}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0 が成り立つことです。
(i) fx(0,0)=limh0f(h,0)f(0,0)h=limh0hα0βh=0\frac{\partial f}{\partial x}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|^\alpha |0|^\beta}{h} = 0. (β>0\beta>0)
fy(0,0)=limk0f(0,k)f(0,0)k=limk00αkβk=0\frac{\partial f}{\partial y}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{|0|^\alpha |k|^\beta}{k} = 0. (α>0\alpha>0)
(ii) lim(h,k)(0,0)hαkβh2+k2=0\lim_{(h, k) \to (0, 0)} \frac{|h|^\alpha |k|^\beta}{\sqrt{h^2 + k^2}} = 0 が成り立つ必要があります。
h=rcosθh = r cos\theta, k=rsinθk = r sin\theta とすると、
limr0rcosθαrsinθβr=limr0rα+β1cosθαsinθβ=0\lim_{r \to 0} \frac{|r cos\theta|^\alpha |r sin\theta|^\beta}{r} = \lim_{r \to 0} r^{\alpha + \beta - 1} |cos\theta|^\alpha |sin\theta|^\beta = 0
この極限が 0 になるためには、α+β1>0\alpha + \beta - 1 > 0 つまり α+β>1\alpha + \beta > 1 が必要です。

3. 最終的な答え

(1) 方向微分係数 fl(0,0)\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) が存在する α,β\alpha, \beta の条件: α+β>1\alpha + \beta > 1. そのとき fl(0,0)=0\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0.
(2) f(x,y)f(x, y) が (全) 微分可能となる α,β\alpha, \beta の条件: α+β>1\alpha + \beta > 1.

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