与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $x$軸との角度$\theta$ $(0 \le \theta < 2\pi)$ である方向 $l$ における、点 $(0, 0)$ での方向微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ が存在するような $\alpha, \beta$ の条件を求め、そのときの $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ の値を求めます。 (2) $f(x, y)$ が (全) 微分可能となる $\alpha, \beta$ の条件を求めます。
2025/7/2
1. 問題の内容
与えられた関数 について、以下の問いに答えます。
(1) 軸との角度 である方向 における、点 での方向微分係数 が存在するような の条件を求め、そのときの の値を求めます。
(2) が (全) 微分可能となる の条件を求めます。
2. 解き方の手順
(1)
方向 の単位ベクトルを とします。 方向微分係数は、定義より
です。 なので、
または (つまり )のとき、.
または (つまり )のとき、.
それ以外の場合、極限が存在するためには つまり が必要です。
このとき、 となります。
よって、 のとき、任意の方向 に対して方向微分係数が存在し、その値は 0 です。
(2)
が で全微分可能であるための条件は、
(i) 偏微分係数 と が存在すること
(ii) が成り立つことです。
(i) . ()
. ()
(ii) が成り立つ必要があります。
, とすると、
この極限が 0 になるためには、 つまり が必要です。
3. 最終的な答え
(1) 方向微分係数 が存在する の条件: . そのとき .
(2) が (全) 微分可能となる の条件: .