関数 $y = C_1 e^t + C_2 t e^t$ が微分方程式 $\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = 0$ の解であることを示す。ここで、$C_1$ と $C_2$ は定数である。

1. 問題の内容

関数 $y = C_1 e^t + C_2 t e^t$ が微分方程式 $\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = 0$ の解であることを示す。ここで、$C_1$ と $C_2$ は定数である。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y$ を $t$ について1回微分し、$\frac{dy}{dt}$ を求める。次に、$y$ を $t$ について2回微分し、$\frac{d^2 y}{dt^2}$ を求める。

その後、求めた $\frac{dy}{dt}$ と $\frac{d^2 y}{dt^2}$、そして $y$ を微分方程式 $\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = 0$ に代入し、等式が成り立つことを示す。

(1) $y$ の1階微分を計算する。

$y = C_1 e^t + C_2 t e^t$

$\frac{dy}{dt} = C_1 e^t + C_2 (e^t + t e^t) = C_1 e^t + C_2 e^t + C_2 t e^t$

(2) $y$ の2階微分を計算する。

$\frac{d^2 y}{dt^2} = C_1 e^t + C_2 e^t + C_2 e^t + C_2 t e^t = C_1 e^t + 2 C_2 e^t + C_2 t e^t$

(3) 微分方程式に代入して計算する。

$\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = (C_1 e^t + 2 C_2 e^t + C_2 t e^t) - 2 (C_1 e^t + C_2 e^t + C_2 t e^t) + (C_1 e^t + C_2 t e^t)$

$= C_1 e^t + 2 C_2 e^t + C_2 t e^t - 2 C_1 e^t - 2 C_2 e^t - 2 C_2 t e^t + C_1 e^t + C_2 t e^t$

$= (C_1 - 2 C_1 + C_1) e^t + (2 C_2 - 2 C_2) e^t + (C_2 - 2 C_2 + C_2) t e^t$

$= 0 \cdot e^t + 0 \cdot e^t + 0 \cdot t e^t$

$= 0$

$\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = 0$ となるので、$y = C_1 e^t + C_2 t e^t$ は微分方程式 $\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = 0$ の解である。

3. 最終的な答え

$y = C_1 e^t + C_2 t e^t$ は微分方程式 $\frac{d^2 y}{dt^2} - 2 \frac{dy}{dt} + y = 0$ の解である。