関数 $y = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を利用します。

$y = \sqrt{3}\sin x - \cos x$ を $R\sin(x + \alpha)$ の形に変形します。

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{6}$

したがって、

$y = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$

$-1 \le \sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 1$ より、

$-2 \le 2\sin(x - \frac{\pi}{6}) \le 2$

よって、最大値は 2、最小値は -2 です。

3. 最終的な答え

最大値: 2

最小値: -2