$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。関数 $y = \tan^2\theta + k\tan\theta$ があり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = 6$ である。ただし、$k$ は定数とする。 (1) $k$ の値を求めよ。 (2) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$y = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。 (3) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ における $y$ の最小値を求めよ。また、$y$ が最小値をとるときの $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$\sin 2\alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。関数 $y = \tan^2\theta + k\tan\theta$ があり、$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = 6$ である。ただし、$k$ は定数とする。

(1) $k$ の値を求めよ。

(2) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$y = 0$ を満たす $\theta$ の値を求めよ。

(3) $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ における $y$ の最小値を求めよ。また、$y$ が最小値をとるときの $\theta$ の値を $\alpha$ とする。$\sin 2\alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $k$ の値を求める。

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = 6$ なので、

$6 = \tan^2\frac{\pi}{3} + k\tan\frac{\pi}{3}$

$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ より、

$6 = (\sqrt{3})^2 + k\sqrt{3}$

$6 = 3 + k\sqrt{3}$

$3 = k\sqrt{3}$

$k = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

(2) $y = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。

$y = \tan^2\theta + \sqrt{3}\tan\theta = 0$

$\tan\theta(\tan\theta + \sqrt{3}) = 0$

$\tan\theta = 0$ または $\tan\theta = -\sqrt{3}$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、

$\tan\theta = 0$ のとき $\theta = 0$

$\tan\theta = -\sqrt{3}$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{3}$

(3) $y$ の最小値を求める。

$y = \tan^2\theta + \sqrt{3}\tan\theta$ を平方完成する。

$y = (\tan\theta + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$

$y = (\tan\theta + \frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{3}{4}$

$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\tan\theta$ は任意の実数をとるので、$\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のときに $y$ は最小値 $-\frac{3}{4}$ をとる。

$y$ が最小値をとるときの $\theta$ の値を $\alpha$ とすると、$\tan\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin 2\alpha$ の値を求める。

$\sin 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{2(-\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{-\sqrt{3}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{-\sqrt{3}}{\frac{7}{4}} = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $k = \sqrt{3}$

(2) $\theta = 0, -\frac{\pi}{3}$

(3) $y$ の最小値は $-\frac{3}{4}$ であり、$\sin 2\alpha = -\frac{4\sqrt{3}}{7}$