$k$ を正の定数、$y_0$ を定数とする。微分方程式 $\frac{dy}{dt} = -k(y-y_0)$ を解く。

## 解答

1. 問題の内容

$k$ を正の定数、$y_0$ を定数とする。微分方程式 $\frac{dy}{dt} = -k(y-y_0)$ を解く。

2. 解き方の手順

これは変数分離形の微分方程式なので、次のように解く。

まず、$y \neq y_0$ のとき、両辺を $y-y_0$ で割る。

$$\frac{1}{y-y_0}\frac{dy}{dt} = -k$$

両辺を $t$ で積分する。

$$\int \frac{1}{y-y_0} \frac{dy}{dt} dt = \int -k dt$$

左辺は置換積分により、$\frac{dy}{dt} dt = dy$ なので、

$$\int \frac{1}{y-y_0} dy = -kt + C_1$$

ここで、$C_1$ は積分定数。左辺を計算すると、

$$\ln |y-y_0| = -kt + C_1$$

両辺の指数を取ると、

$$|y-y_0| = e^{-kt + C_1} = e^{C_1} e^{-kt}$$

$$y-y_0 = \pm e^{C_1} e^{-kt}$$

$C = \pm e^{C_1}$ とおくと、$C$ は任意定数となるので、

$$y = y_0 + Ce^{-kt}$$

$y = y_0$ のときも、$y' = 0 = -k(y_0 - y_0)$ を満たすので、この解に含まれる。

3. 最終的な答え

$$y = y_0 + Ce^{-kt}$$

ここで、$C$ は任意定数。