$0 \le x < 2\pi$ のとき、以下の2つの方程式を解く問題です。 (1) $\sin x + \cos x = 1$ (2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2$

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$ のとき、以下の2つの方程式を解く問題です。

(1) $\sin x + \cos x = 1$

(2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2$

2. 解き方の手順

(1) $\sin x + \cos x = 1$

両辺を2乗します。

$(\sin x + \cos x)^2 = 1^2$

$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ なので、

$1 + 2 \sin x \cos x = 1$

$2 \sin x \cos x = 0$

$\sin 2x = 0$

$0 \le x < 2\pi$ より $0 \le 2x < 4\pi$ なので、

$2x = 0, \pi, 2\pi, 3\pi$

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$

ここで、2乗したので吟味が必要です。

$x=0$ のとき $\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1$ であり、成立します。

$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $\sin \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1$ であり、成立します。

$x=\pi$ のとき $\sin \pi + \cos \pi = 0 + (-1) = -1$ であり、成立しません。

$x=\frac{3\pi}{2}$ のとき $\sin \frac{3\pi}{2} + \cos \frac{3\pi}{2} = -1 + 0 = -1$ であり、成立しません。

よって、$x = 0, \frac{\pi}{2}$

(2) $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 2$

左辺を合成します。

$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$

$2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x - \frac{1}{2} \cos x) = 2$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{6}$, $\frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}$ なので、

$2 (\cos \frac{\pi}{6} \sin x - \sin \frac{\pi}{6} \cos x) = 2$

$2 \sin (x - \frac{\pi}{6}) = 2$

$\sin (x - \frac{\pi}{6}) = 1$

$0 \le x < 2\pi$ より $-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$ なので、

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, \frac{\pi}{2}$

(2) $x = \frac{2\pi}{3}$