関数 $y = \sqrt[5]{3x^2 + 2x - 4}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[5]{3x^2 + 2x - 4}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を指数を用いて書き換えます。

$y = (3x^2 + 2x - 4)^{\frac{1}{5}}$

次に、合成関数の微分法（チェーンルール）を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = 3x^2 + 2x - 4$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{5}}$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{5}u^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{5}(3x^2 + 2x - 4)^{-\frac{4}{5}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 2x - 4) = 6x + 2 = 2(3x + 1)$

したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{5}(3x^2 + 2x - 4)^{-\frac{4}{5}} \cdot 2(3x + 1)$

$y' = \frac{2(3x + 1)}{5(3x^2 + 2x - 4)^{\frac{4}{5}}}$

最後に、指数を根号を用いて書き換えます。

$y' = \frac{2(3x + 1)}{5 \sqrt[5]{(3x^2 + 2x - 4)^4}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{2(3x + 1)}{5 \sqrt[5]{(3x^2 + 2x - 4)^4}}$