2変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ の、$(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \frac{xy^3}{x^2 + y^4}$ の、$(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まずは、経路に沿って極限を調べてみます。

(a) $x = 0$ に沿って近づく場合：

$f(0, y) = \frac{0 \cdot y^3}{0^2 + y^4} = 0$

よって、$\lim_{y \to 0} f(0, y) = 0$

(b) $y = 0$ に沿って近づく場合：

$f(x, 0) = \frac{x \cdot 0^3}{x^2 + 0^4} = 0$

よって、$\lim_{x \to 0} f(x, 0) = 0$

(c) $x = y^2$ に沿って近づく場合：

$f(y^2, y) = \frac{y^2 \cdot y^3}{(y^2)^2 + y^4} = \frac{y^5}{y^4 + y^4} = \frac{y^5}{2y^4} = \frac{y}{2}$

よって、$\lim_{y \to 0} f(y^2, y) = 0$

これらの結果から、極限が存在する場合は 0 であると考えられます。

次に、極座標変換を試みます。$x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ とおくと、

$f(r \cos \theta, r \sin \theta) = \frac{r \cos \theta (r \sin \theta)^3}{(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^4} = \frac{r^4 \cos \theta \sin^3 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \frac{r^2 \cos \theta \sin^3 \theta}{\cos^2 \theta + r^2 \sin^4 \theta}$

$r \to 0$ のとき、$\cos \theta \neq 0$ ならば、$\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos \theta \sin^3 \theta}{\cos^2 \theta + r^2 \sin^4 \theta} = \frac{0}{\cos^2 \theta} = 0$ となります。

しかし、$\cos \theta = 0$ の場合、つまり $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$は整数)のとき、

$x = r \cos (\frac{\pi}{2} + n\pi) = 0$ となり、これは$x = 0$の経路に沿って近づくことに相当します。この場合はすでに極限が0であることを示しました。

別の方法を試みます。

$x^2+y^4 \geq 2|x||y^2|$より、$|x| \leq \frac{x^2+y^4}{2|y^2|}$.

したがって、

$|f(x,y)| = \left| \frac{xy^3}{x^2+y^4} \right| \leq \left| \frac{(x^2+y^4)y^3}{2y^2(x^2+y^4)} \right| = \left| \frac{y}{2} \right| \to 0$ as $y \to 0$.

よって、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0$.

3. 最終的な答え

0