与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int \frac{1}{\frac{mg}{\gamma} + V_y^2} dV_y$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int \frac{1}{\frac{mg}{\gamma} + V_y^2} dV_y$

2. 解き方の手順

この積分は、逆正接関数 (arctan) の積分に似ています。

$\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$

ここで、$a^2 = \frac{mg}{\gamma}$とすると、$a = \sqrt{\frac{mg}{\gamma}}$となります。

$x = V_y$と置き換えて、上記の積分公式を適用します。

$\int \frac{1}{\frac{mg}{\gamma} + V_y^2} dV_y = \int \frac{1}{(\sqrt{\frac{mg}{\gamma}})^2 + V_y^2} dV_y$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{mg}{\gamma}}} \arctan(\frac{V_y}{\sqrt{\frac{mg}{\gamma}}}) + C$

$= \sqrt{\frac{\gamma}{mg}} \arctan(\sqrt{\frac{\gamma}{mg}} V_y) + C$

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{\gamma}{mg}} \arctan\left(V_y \sqrt{\frac{\gamma}{mg}}\right) + C$