与えられた3つの二変数関数について、原点(0,0)における連続性を調べます。各関数は(x,y)≠(0,0)で定義されており、f(0,0) = 0と定義されています。

1. 問題の内容

与えられた3つの二変数関数について、原点(0,0)における連続性を調べます。各関数は(x,y)≠(0,0)で定義されており、f(0,0) = 0と定義されています。

2. 解き方の手順

(1) $f(x,y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。

$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^2\cos^2\theta}{\sqrt{r^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta}{|r|} = |r|\cos^2\theta$

$r \to 0$のとき、$|r|\cos^2\theta \to 0$ となります。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$なので、原点で連続です。

(2) $f(x,y) = \frac{xy}{\sin(x^2+y^2)}$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、

$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{\sin(r^2)} = \frac{r^2}{\sin(r^2)}\cos\theta\sin\theta = \frac{r^2}{\sin(r^2)}\frac{1}{2}\sin(2\theta)$

ここで、$r \to 0$ のとき、$\frac{r^2}{\sin(r^2)} \to 1$ となります。

したがって、$f(r\cos\theta, r\sin\theta) \to \frac{1}{2}\sin(2\theta)$ となります。

これは $\theta$ に依存するので、原点に近づく方向によって極限値が異なります。

したがって、$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ は存在しません。

よって、原点で不連続です。

(3) $f(x,y) = \frac{xy^2}{x^2+y^2}$

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、

$f(r\cos\theta, r\sin\theta) = \frac{r\cos\theta \cdot r^2\sin^2\theta}{r^2} = r\cos\theta\sin^2\theta$

$r \to 0$のとき、$r\cos\theta\sin^2\theta \to 0$ となります。

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = 0 = f(0,0)$なので、原点で連続です。

3. 最終的な答え

(1) 原点で連続

(2) 原点で不連続

(3) 原点で連続