与えられた5つの微分積分を計算します。 (1) $\frac{d}{dx} \sin^2 x$ (2) $\frac{d}{dx} (\sin x \cos x)$ (3) $\int \sin x \cos x dx$ (4) $\int \frac{dx}{\tan x}$ (5) $\int \cos(2x) dx$

1. 問題の内容

与えられた5つの微分積分を計算します。

(1) $\frac{d}{dx} \sin^2 x$

(2) $\frac{d}{dx} (\sin x \cos x)$

(3) $\int \sin x \cos x dx$

(4) $\int \frac{dx}{\tan x}$

(5) $\int \cos(2x) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{d}{dx} \sin^2 x$

合成関数の微分公式を用います。$u = \sin x$ とおくと、$\sin^2 x = u^2$ となり、

$\frac{d}{dx} \sin^2 x = \frac{d}{du} u^2 \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \cos x = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$

または、積の微分公式より、

$\frac{d}{dx} (\sin x \sin x) = \cos x \sin x + \sin x \cos x = 2 \sin x \cos x = \sin(2x)$

(2) $\frac{d}{dx} (\sin x \cos x)$

積の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx} (\sin x \cos x) = \cos x \cos x + \sin x (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

(3) $\int \sin x \cos x dx$

置換積分を用います。$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ となり、

$\int \sin x \cos x dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2} \sin^2 x + C$

または、$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$ を用いると、

$\int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \int \sin(2x) dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{-\cos(2x)}{2} + C = -\frac{1}{4} \cos(2x) + C = -\frac{1}{4} (\cos^2 x - \sin^2 x) + C = -\frac{1}{4} (\cos^2 x - (1 - \cos^2 x)) + C = -\frac{1}{4}(2\cos^2 x - 1) + C = -\frac{1}{2}\cos^2 x + \frac{1}{4} + C = -\frac{1}{2} (1 - \sin^2 x) + \frac{1}{4} + C = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sin^2 x + \frac{1}{4} + C = \frac{1}{2} \sin^2 x - \frac{1}{4} + C = \frac{1}{2} \sin^2 x + C'$

$C$ は積分定数です。

(4) $\int \frac{dx}{\tan x} = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx$

置換積分を用います。$u = \sin x$ とおくと、$du = \cos x dx$ となり、

$\int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\sin x| + C$

$C$ は積分定数です。

(5) $\int \cos(2x) dx$

置換積分を用います。$u = 2x$ とおくと、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2}du$。

$\int \cos(2x) dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos u du = \frac{1}{2} \sin u + C = \frac{1}{2} \sin(2x) + C$

$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

(1) $\sin(2x)$

(2) $\cos(2x)$

(3) $\frac{1}{2} \sin^2 x + C$

(4) $\ln |\sin x| + C$

(5) $\frac{1}{2} \sin(2x) + C$