二変数関数 $\frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

1. 問題の内容

二変数関数 $\frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ の $(x, y) \to (0, 0)$ における極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行います。このとき、$(x, y) \to (0, 0)$ は $r \to 0$ に対応します。

したがって、

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\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin(xy)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{\sqrt{r^2 \cos^2\theta + r^2 \sin^2\theta}} = \lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r}

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$\frac{\sin x}{x} \to 1$ as $x \to 0$ を利用するために、$\frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r}$ を $\frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r^2 \cos\theta \sin\theta} \cdot r \cos\theta \sin\theta$ と変形します。

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\lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r} = \lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r^2 \cos\theta \sin\theta} \cdot r \cos\theta \sin\theta

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ここで、$\lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r^2 \cos\theta \sin\theta} = 1$ であり、

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\lim_{r \to 0} r \cos\theta \sin\theta = 0

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したがって、

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\lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2 \cos\theta \sin\theta)}{r} = 1 \cdot 0 = 0

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3. 最終的な答え

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