与えられた極限を計算して、$f'(x)$ を求める問題です。 $f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{1}{2(x+h)} - \frac{1}{2x} \right\}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算して、$f'(x)$ を求める問題です。

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{1}{2(x+h)} - \frac{1}{2x} \right\}$

2. 解き方の手順

まず、中括弧の中を整理します。

$\frac{1}{2(x+h)} - \frac{1}{2x} = \frac{x - (x+h)}{2x(x+h)} = \frac{-h}{2x(x+h)}$

これを元の式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left\{ \frac{-h}{2x(x+h)} \right\}$

$h$ を約分します。

$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{-1}{2x(x+h)}$

$h \to 0$ の極限を取ります。

$f'(x) = \frac{-1}{2x(x+0)} = \frac{-1}{2x^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{2x^2}$