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関数 $f(x) = \frac{1}{2x}$ の導関数を、導関数の定義に従って求める。

解析学導関数関数の微分極限
2025/7/1

1. 問題の内容

関数 f(x)=12xf(x) = \frac{1}{2x} の導関数を、導関数の定義に従って求める。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次のとおりです。
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
まず、f(x+h)f(x+h) を計算します。
f(x+h) = \frac{1}{2(x+h)}
次に、f(x+h)−f(x)f(x+h) - f(x) を計算します。
f(x+h) - f(x) = \frac{1}{2(x+h)} - \frac{1}{2x} = \frac{x - (x+h)}{2x(x+h)} = \frac{-h}{2x(x+h)}
次に、f(x+h)−f(x)h\frac{f(x+h) - f(x)}{h} を計算します。
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\frac{-h}{2x(x+h)}}{h} = \frac{-1}{2x(x+h)}
最後に、lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} を計算します。
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{2x(x+h)} = \frac{-1}{2x(x+0)} = \frac{-1}{2x^2}

3. 最終的な答え

f'(x) = -\frac{1}{2x^2}

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