$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = \sin^2 \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^2 \theta$ を $1 - \cos^2 \theta$ で置き換えて、$y$ を $\cos \theta$ の関数として表します。

$y = 1 - \cos^2 \theta - \cos \theta = - \cos^2 \theta - \cos \theta + 1$

次に、$t = \cos \theta$ とおきます。$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < 2\pi$ なので、$-1 \le t \le 1$ となります。

$y = -t^2 - t + 1$

これを平方完成します。

$y = -(t^2 + t) + 1 = - \left( t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{4} + 1 = - \left( t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{4}$

$y$ は $t = -\frac{1}{2}$ のときに最大値 $\frac{5}{4}$ をとります。また、$t = 1$ のときに最小値をとります。

$t = 1$ のとき、$y = -1^2 - 1 + 1 = -1$

$t = \cos \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

$t = \cos \theta = 1$ のとき、$\theta = 0$

よって、最大値は $\frac{5}{4}$ で、このときの $\theta$ は $\frac{2}{3}\pi$ と $\frac{4}{3}\pi$ です。

最小値は $-1$ で、このときの $\theta$ は $0$ です。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{5}{4}$ ($\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ のとき)

最小値: $-1$ ($\theta = 0$ のとき)