$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解け。 (1) $\sqrt{6} \cos{\theta} + \sqrt{3} = 0$ (2) $2\sin{\theta} \le \sqrt{3}$ (3) $\tan{\theta} + \sqrt{3} \le 0$ (4) $\sin{\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)} = -\frac{1}{2}$ (5) $\cos{\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式・不等式を解け。

(1) $\sqrt{6} \cos{\theta} + \sqrt{3} = 0$

(2) $2\sin{\theta} \le \sqrt{3}$

(3) $\tan{\theta} + \sqrt{3} \le 0$

(4) $\sin{\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)} = -\frac{1}{2}$

(5) $\cos{\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{6} \cos{\theta} + \sqrt{3} = 0$ より、$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\theta = \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi$.

(2) $2\sin{\theta} \le \sqrt{3}$ より、$\sin{\theta} \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ または $\frac{2}{3}\pi \le \theta < 2\pi$.

(3) $\tan{\theta} + \sqrt{3} \le 0$ より、$\tan{\theta} \le -\sqrt{3}$.

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2}{3}\pi$ または $\frac{3}{2}\pi < \theta \le \frac{5}{3}\pi$.

(4) $\sin{\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)} = -\frac{1}{2}$

$\theta - \frac{\pi}{3} = t$ とおくと、$\sin{t} = -\frac{1}{2}$.

$-\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi$ であるから、$t = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$.

$\theta = t + \frac{\pi}{3}$ より、$\theta = \frac{7}{6}\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{9}{6}\pi = \frac{3}{2}\pi$ または $\theta = \frac{11}{6}\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{13}{6}\pi$.

(5) $\cos{\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = t$ とおくと、$\cos{t} > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{\pi}{4} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{4}$ であるから、$0 \le t < \frac{5}{6}\pi$ または $\frac{7}{6}\pi < t < 2\pi$.

$\theta = t - \frac{\pi}{4}$ より、$-\frac{\pi}{4} \le \theta < \frac{5}{6}\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{10-3}{12}\pi = \frac{7}{12}\pi$ または $\frac{7}{6}\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{14-3}{12}\pi = \frac{11}{12}\pi < \theta < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7}{4}\pi$.

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$0 \le \theta < \frac{7}{12}\pi$ または $\frac{11}{12}\pi < \theta < 2\pi$.

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}, \frac{2}{3}\pi \le \theta < 2\pi$

(3) $\frac{\pi}{2} < \theta \le \frac{2}{3}\pi, \frac{3}{2}\pi < \theta \le \frac{5}{3}\pi$

(4) $\theta = \frac{3}{2}\pi, \frac{13}{6}\pi$

(5) $0 \le \theta < \frac{7}{12}\pi, \frac{11}{12}\pi < \theta < 2\pi$