3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=0$ で極大値2をとり、$x=2$ で極小値-6をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が $x=0$ で極大値2をとり、$x=2$ で極小値-6をとるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

- $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

- $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

1. $x=0$ で極大値2をとるので、$f(0) = 2$。

$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = d$

したがって、$d = 2$。

2. $x=2$ で極小値-6をとるので、$f(2) = -6$。

$f(2) = a(2)^3 + b(2)^2 + c(2) + d = 8a + 4b + 2c + d = -6$

$d=2$を代入すると、$8a + 4b + 2c + 2 = -6$

$8a + 4b + 2c = -8$

$4a + 2b + c = -4$ --- (1)

3. $x=0$ で極大値をとるので、$f'(0) = 0$。

$f'(0) = 3a(0)^2 + 2b(0) + c = c$

したがって、$c = 0$。

4. $x=2$ で極小値をとるので、$f'(2) = 0$。

$f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) + c = 12a + 4b + c = 0$

$c=0$を代入すると、$12a + 4b = 0$

$3a + b = 0$

$b = -3a$ --- (2)

5. (1)式に $c=0$ と (2)式 $b=-3a$ を代入する。

$4a + 2(-3a) + 0 = -4$

$4a - 6a = -4$

$-2a = -4$

$a = 2$

6. $b = -3a$ に $a=2$ を代入する。

$b = -3(2) = -6$

したがって、$a=2, b=-6, c=0, d=2$。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -6$

$c = 0$

$d = 2$