2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$, $C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$, $C_2$ と直線 $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 + 2x + 4 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$

判別式 $D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$

$(2-a)^2 - 16 + 4b = 0$

$4 - 4a + a^2 - 16 + 4b = 0$

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 2x + 2 = ax + b$ が重解を持つことである。

$x^2 - (2+a)x + (2-b) = 0$

判別式 $D_2 = (2+a)^2 - 4(2-b) = 0$

$(2+a)^2 - 8 + 4b = 0$

$4 + 4a + a^2 - 8 + 4b = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$

2つの式を連立して解く。

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$

$a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$

辺々引くと、

$-8a - 8 = 0$

$a = -1$

$a = -1$ を $a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ に代入すると、

$1 - 4 + 4b - 4 = 0$

$4b = 7$

$b = \frac{7}{4}$

よって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $C_1$ と $C_2$ の交点のx座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = x^2 - 2x + 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{1}{2}$

$C_1$ と $l$ の接点のx座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$C_2$ と $l$ の接点のx座標を求める。

$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

求める面積は、

$\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2+2x+4 - (-x+\frac{7}{4}))dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2-2x+2 - (-x+\frac{7}{4}))dx$

$=\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2+3x+\frac{9}{4})dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2-x+\frac{1}{4})dx$

$=[\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+\frac{9}{4}x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}}+[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{4}x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$=(\frac{-1/8}{3}+\frac{3/4}{2}-\frac{9}{8})-(\frac{-27/8}{3}+\frac{27/4}{2}-\frac{27}{8})+(\frac{1/8}{3}-\frac{1/4}{2}+\frac{1}{8})-(\frac{-1/8}{3}-\frac{1/4}{2}-\frac{1}{8})$

$=(-\frac{1}{24}+\frac{3}{8}-\frac{9}{8})-(-\frac{9}{8}+\frac{27}{8}-\frac{27}{8})+(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8})-(-\frac{1}{24}-\frac{1}{8}-\frac{1}{8})$

$=\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{1}{3}$