2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。 (1) $C_1$と$C_2$の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの放物線 $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ がある。

(1) $C_1$と$C_2$の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$, $C_2$, $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = mx + n$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 + 2x + 4 = mx + n$ が重解を持つことである。

すなわち、$x^2 + (2-m)x + (4-n) = 0$ の判別式が0である。

$D_1 = (2-m)^2 - 4(4-n) = 0$

$4 - 4m + m^2 - 16 + 4n = 0$

$m^2 - 4m + 4n - 12 = 0$ … (1)

$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2 - 2x + 2 = mx + n$ が重解を持つことである。

すなわち、$x^2 - (2+m)x + (2-n) = 0$ の判別式が0である。

$D_2 = (2+m)^2 - 4(2-n) = 0$

$4 + 4m + m^2 - 8 + 4n = 0$

$m^2 + 4m + 4n - 4 = 0$ … (2)

(2) - (1) より、$8m + 8 = 0$ よって $m = -1$.

これを(1)に代入すると、

$1 + 4 + 4n - 12 = 0$

$4n = 7$

$n = \frac{7}{4}$

よって、直線 $l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $C_1$と$C_2$の交点のx座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = x^2 - 2x + 2$

$4x = -2$

$x = -\frac{1}{2}$

$C_1$と$l$の接点のx座標を求める。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = -\frac{3}{2}$

$C_2$と$l$の接点のx座標を求める。

$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$

$x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

面積 $S = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 2x + 4 - (-x + \frac{7}{4})) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - 2x + 2 - (-x + \frac{7}{4})) dx$

$S = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$

$S = [\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{4}x]_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x]_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}$

$S = (\frac{-1}{24} + \frac{3}{8} - \frac{9}{8}) - (\frac{-27}{24} + \frac{27}{8} - \frac{27}{8}) + (\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) - (\frac{-1}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8})$

$S = (-\frac{1}{24} - \frac{6}{8}) - (\frac{-9}{8} - \frac{27}{24}) + (\frac{1}{24}) - (\frac{-1}{24} - \frac{2}{8})$

$S = (-\frac{1}{24} - \frac{18}{24}) - (\frac{-27}{24} - \frac{27}{24}) + (\frac{1}{24}) - (\frac{-1}{24} - \frac{6}{24})$

$S = -\frac{19}{24} - (-\frac{54}{24}) + \frac{1}{24} - (-\frac{7}{24})$

$S = -\frac{19}{24} + \frac{54}{24} + \frac{1}{24} + \frac{7}{24} = \frac{43}{24}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{43}{24}$