与えられた積分 $\int x^3 e^{-x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^3 e^{-x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を繰り返し用いることで積分を計算します。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

ステップ1：$u=x^3$, $dv=e^{-x}dx$ とすると、$du=3x^2dx$, $v=-e^{-x}$ です。

$\int x^3 e^{-x} dx = -x^3 e^{-x} - \int (-e^{-x}) 3x^2 dx = -x^3 e^{-x} + 3 \int x^2 e^{-x} dx$

ステップ2：$\int x^2 e^{-x} dx$ を計算します。$u=x^2$, $dv=e^{-x}dx$ とすると、$du=2x dx$, $v=-e^{-x}$ です。

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) 2x dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

ステップ3：$\int x e^{-x} dx$ を計算します。$u=x$, $dv=e^{-x}dx$ とすると、$du=dx$, $v=-e^{-x}$ です。

$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$

ステップ4：結果をまとめます。

$\int x^3 e^{-x} dx = -x^3 e^{-x} + 3 \int x^2 e^{-x} dx = -x^3 e^{-x} + 3 (-x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx)$

$= -x^3 e^{-x} - 3x^2 e^{-x} + 6 \int x e^{-x} dx = -x^3 e^{-x} - 3x^2 e^{-x} + 6 (-x e^{-x} - e^{-x}) + C$

$= -x^3 e^{-x} - 3x^2 e^{-x} - 6x e^{-x} - 6 e^{-x} + C$

$= -e^{-x} (x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + C$

3. 最終的な答え

$-e^{-x}(x^3 + 3x^2 + 6x + 6) + C$