画像に示された微分方程式の問題を解きます。具体的には、以下の2つの問題を解きます。 (1) $\frac{dy}{dx} = y^2$ (2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{\cos^2 x}, \quad y(0) = 1$

1. 問題の内容

画像に示された微分方程式の問題を解きます。具体的には、以下の2つの問題を解きます。

(1) $\frac{dy}{dx} = y^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{\cos^2 x}, \quad y(0) = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx} = y^2$

これは変数分離形の微分方程式です。まず、$y$と$x$を分離します。

$\frac{dy}{y^2} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y^2} = \int dx$

$-\frac{1}{y} = x + C$ (ここで、$C$は積分定数)

$y$について解きます。

$y = -\frac{1}{x+C}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{\cos^2 x}, \quad y(0) = 1$

これも変数分離形の微分方程式です。まず、$y$と$x$を分離します。

$\frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{\cos^2 x}$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{y^2} = \int \frac{dx}{\cos^2 x}$

$-\frac{1}{y} = \tan x + C$ (ここで、$C$は積分定数)

$y$について解きます。

$y = -\frac{1}{\tan x + C}$

初期条件 $y(0) = 1$ を適用します。

$1 = -\frac{1}{\tan 0 + C}$

$1 = -\frac{1}{0 + C}$

$C = -1$

したがって、$y = -\frac{1}{\tan x - 1}$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{x+C}$

(2) $y = -\frac{1}{\tan x - 1}$

あるいは$y = \frac{1}{1 - \tan x}$