$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とする。曲線 $y = f(x)$ は直線 $y = x + 3$ と点 $P(-1, 2)$ で接している。また、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $Q(2, f(2))$ における接線は点 $P$ を通る。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とする。曲線 $y = f(x)$ は直線 $y = x + 3$ と点 $P(-1, 2)$ で接している。また、曲線 $y = f(x)$ 上の点 $Q(2, f(2))$ における接線は点 $P$ を通る。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

点Pで接するので、$f(-1) = 2$ かつ $f'(-1) = 1$。

$f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = -1 + a - b + c = 2$

したがって、

$a - b + c = 3$ ...(1)

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2a(-1) + b = 3 - 2a + b = 1$

したがって、

$-2a + b = -2$ ...(2)

また、点 $Q(2, f(2))$ における接線の方程式は、

$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$

$f(2) = 2^3 + a(2^2) + b(2) + c = 8 + 4a + 2b + c$

$f'(2) = 3(2^2) + 2a(2) + b = 12 + 4a + b$

したがって、接線の方程式は、

$y - (8 + 4a + 2b + c) = (12 + 4a + b)(x - 2)$

この接線は点 $P(-1, 2)$ を通るので、

$2 - (8 + 4a + 2b + c) = (12 + 4a + b)(-1 - 2)$

$2 - 8 - 4a - 2b - c = (12 + 4a + b)(-3)$

$-6 - 4a - 2b - c = -36 - 12a - 3b$

$8a + b - c = -30$ ...(3)

(1), (2), (3)を連立して解く。

(1) + (3): $a - b + c + 8a + b - c = 3 + (-30)$

$9a = -27$

$a = -3$

(2)より、$-2(-3) + b = -2$

$6 + b = -2$

$b = -8$

(1)より、$-3 - (-8) + c = 3$

$5 + c = 3$

$c = -2$

3. 最終的な答え

$a = -3, b = -8, c = -2$