次の微分方程式または初期値問題を解きなさい。 (1) $\frac{dy}{dx} = y \sin{x}$ (2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{\cos^2{x}}, \quad y(0) = 1$

1. 問題の内容

次の微分方程式または初期値問題を解きなさい。

(1) $\frac{dy}{dx} = y \sin{x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{\cos^2{x}}, \quad y(0) = 1$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{dy}{dx} = y \sin{x}$

これは変数分離形の微分方程式なので、

$\frac{1}{y} dy = \sin{x} dx$

両辺を積分すると、

$\int \frac{1}{y} dy = \int \sin{x} dx$

$\ln{|y|} = -\cos{x} + C$

$|y| = e^{-\cos{x} + C} = e^C e^{-\cos{x}}$

$y = \pm e^C e^{-\cos{x}}$

$y = A e^{-\cos{x}}$ (Aは任意定数)

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{\cos^2{x}}, \quad y(0) = 1$

これも変数分離形の微分方程式なので、

$\frac{1}{y^2} dy = \frac{1}{\cos^2{x}} dx$

$\int \frac{1}{y^2} dy = \int \frac{1}{\cos^2{x}} dx$

$\int y^{-2} dy = \int \sec^2{x} dx$

$-y^{-1} = \tan{x} + C$

$-\frac{1}{y} = \tan{x} + C$

$y = -\frac{1}{\tan{x} + C}$

初期条件 $y(0) = 1$ を代入すると、

$1 = -\frac{1}{\tan{0} + C}$

$1 = -\frac{1}{0 + C}$

$C = -1$

したがって、

$y = -\frac{1}{\tan{x} - 1} = \frac{1}{1 - \tan{x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y = A e^{-\cos{x}}$ (Aは任意定数)

(2) $y = \frac{1}{1 - \tan{x}}$